Mathematik der Rekonstruktion für dynamische aktive Modelle

In vielen Situationen steht man vor der Aufgabe, relevante aber nicht direkt messbare Parameter zu rekonstruieren, etwa in der medizinischen Bildgebung mittels Computer- oder Magnetresonanztomographie (MRT). Ein üblicher Zugang dafür ist der Abgleich von geeigneten indirekten Messdaten mit einem mathematischen Modell, das den Zusammenhang dieser Messdaten mit den gesuchten Parametern beschreibt; man spricht dann von einem "inversen Problem". Von besonderem Interesse sind dabei Modelle mit aktiven dynamischen Komponenten (also solche, die zeitabhängig und von außen beeinflussbar sind), den diese können verwendet werden, um die Messung so zu gestalten, dass die Rekonstruktion möglichst schnell, genau, und robust erfolgen kann. Werden die Modelle durch Differenzialgleichungen beschrieben, kann dies als "Optimalsteuerungsproblem" formuliert werden. In der MRT -- mathematisch beschrieben durch die Bloch-Gleichungen -- wird die Bildaufnahme zum Beispiel durch zeitabhängige Magnetfelder gesteuert, die auf möglichst schnelle Aufnahme bei minimalem Rauschen oder optimaler Auflösung optimiert werden können. Mathematische Entwicklungen haben bereits wesentliche Beiträge zur Parameterrekonstrukution und dem Design von Messungen geleistet, in letzter Zeit insbesondere im Kontext datengetriebener Methoden und Maschinellem Lernens. Bislang wurden diese Aspekte aber weitgehend isoliert von einander betrachtet; ein ganzheitlicher Ansatz eröffnet jedoch weit darüber hinausgehende Möglichkeiten für eine genauere und vor allem robustere Parameterrekonstruktion. Ziel des Spezialforschungsbereichs ist daher die Entwicklung eines umfassenden theoretischen Rahmens und von effizienten numerischen Algorithmen für die gesamte Mess- und Rekonstruktionspipeline unter Einbeziehung datengetriebener Methoden sowie deren beispielhafte Umsetzung für die MRT. Dies erfordert die enge Zusammenarbeit von Expert:innen aus Optimierung, Inversen Problemen, Variationsrechnung, Maschinellem Lernen, und medizinischer Bildgebung, wofür die österreichische Forschungslandschaft und speziell der Forschungsstandort Graz ideal aufgestellt ist. Zu erwarten ist dadurch nicht nur ein tieferes mathematisches Verständnis der Grenzen und Möglichkeiten der optimalen Rekonstruktion in dynamischen Modellen, sondern auch klinisch relevante Verbesserungen in der MRT-Bildgebung durch Bereitstellung von gemeinsam optimierten und praktisch umsetzbaren Mess- und Rekonstruktionsprotokollen, die die derzeitigen Einschränkungen aufgrund von Bewegung, unvollständigen Daten oder Rauschempfindlichkeit überwinden. Neben der wissenschaftlichen Exzellenz wird die Community durch eine nachhaltige Förderung von Nachwuchsforscher:innen gestärkt, welche in einer interdisziplinären Umgebung mit führenden Wissenschaftler:innen zusammenarbeiten und dadurch einzigartig ausgebildet werden.