Kinematische Analyse paralleler Manipulatoren mit effizienten algebraischen Methoden

Seit einigen Jahrzehnten stehen parallele Manipulatoren im Zentrum des Interesses von akademischer Forschung aber auch der Maschinen- und Freizeitindustrie. Parallele Manipulatoren haben gegenüber seriellen Manipulatoren eine Reihe von Vorteilen, wie etwa bessere dynamische Eigenschaften und ein besseres GewichtLast Verhältnis. Sie werden eingesetzt z. B. als Flugsimulatoren, als Fahrzeugsimulatoren und als Fräsmaschinen. Viele Aufgaben in der Industrie brauchen nicht den vollen Bewegungsumfang in Orientierung und Translation, weshalb in jüngster Zeit parallele Manipulatoren mit eingeschränkten, der Aufgabe angepassten Freiheitsgraden ins Zentrum der Forschung gerückt sind. Diese Tatsache ist unmittelbar einsichtig, denn ein Manipulator mit weniger Antrieben ist leichter, hat weniger Massen zu bewegen und ist deshalb auch billiger herzustellen. Recht gut untersucht sind parallele Manipulatoren die ebene, sphärische oder Schönflies Bewegungen ausführen. Aber auch Manipulatoren mit Bewegungen in denen Translation und Orientierung gekoppelt sind können von größtem Interesse für Anwendungen sein. Das kinematische Verhalten von parallelen Manipulatoren mit eingeschränkten, gekoppelten Bewegungsmöglichkeiten ist allerdings kompliziert und bisher kaum verstanden. Das theoretische Wissen über das Bewegungsverhalten ist aber unabdingbare Voraussetzung für den Bau und daran anschließend für einen sicheren Betrieb des Manipulators. Hier setzt das Forschungsprojekt Kinematische Analyse paralleler Manipulatoren mit effizienten algebraischen Methoden an. In Vorstudien, finanziert vom österreichisch-französischen Amadeus Programm, konnte gezeigt werden, dass Methoden aus der Algebra und der algebraischen Geometrie sowie ein tiefes Verständnis der geometrischen Zusammenhänge in höherdimensionalen Parameterräumen, kinematisches Verhalten derartiger Manipulatoren in bisher nicht gekannter Weise beschreiben kann. Die für den Praktiker interessanten theoretischen, mathematisch und geometrisch beschreibbaren Eigenschaften sind dabei: singuläre Lagen und Arbeitsmodi, Übergangsmöglichkeiten zwischen den Arbeitsmodi, Beschreibung der unterschiedliche Zusammenbauformen sowie die parametrische Beschreibung des gesamten Arbeitsraumes. Alle genannten Eigenschaften lassen sich aus geometrisch-mathematischen Eigenschaften von algebraischen Varietäten ableiten, die aus den vom Manipulatordesign abhängigen Zwangsbedingungen hervorgehen. Im vorliegen Projekt wird versucht, die aus dem Vorprojekt gewonnenen Erkenntnisse sowohl auf eine ganze Klasse von parallelen Manipulatoren zu erweitern als auch durch Entwicklung neuer Methoden die kinematische Beschreibung zu vertiefen

Ziel des Projekts war es, tiefere Einsichten in das kinematische Verhalten bestimmter paralleler Manipulatoren mit reduzierten Freiheitsgraden zu gewinnen. Ein paralleler Manipulator mit reduziertem Freiheitsgrad hat weniger als sechs Freiheitgrade und besitzt üblicherweise verschiedene Bewegungstypen, genannt Operationsmodi. Im Projekt wurden im Speziellen 3-RPS und 3-PRS sowie 3-RUU Manipulatoren in verschiedensten Varianten studiert. Diese Typen von parallelen Manipulatoren haben drei Freiheitgrade und bestehen aus einer beweglichen Plattform die über drei Beine mit einer festen Basis verbunden sind. Die Beine sind bewegliche Ketten die aus prismatischen Gelenken (P), Drehgelenken (R), sphärischen Gelenken oder Kardangelenken (U) zusammengesetzt sind. In jeder Beinkette ist jeweils nur ein prismatisches oder Drehgelenk aktiv, die anderen Gelenke sind passiv. Diese Typen von parallelen Manipulatoren wurden ausgewählt weil sie aus der Literatur als paradigmatisch für parallele Roboter mit reduziertem Freiheitsgrad bekannt waren. Wir waren speziell daran interessiert eine vollständige Beschreibung der Singularitäten (das sind Lagen in denen der Roboter unkontrollierbar wird) zu geben, eine Antwort auf die Frage nach singularitätenfreiem Wechsel der Bauformen zu finden, ob die Manipulatoren zwischen Operationsmodi wechseln können und wie die Designparameter diese kinematischen Eigen- schaften beeinflussen. Neue und interessante Eigenschaften sind beispielsweise das asymptotische Verhalten von Singularitäten und höheren Singularitäten. Die erste Eigenschaft ist topologischer Natur und die zweite Eigenschaft kann für die Detektion von Singularitäten des Singularitätenortes verwendet werden. Die wichtigsten Werkzeuge im Rahmen dieser Untersuchungen waren: die kinematische Abbildung von E. Study, Quaternionenkonjugation, Schraubentheorie, Liniengeometrie und Primärkomponentenzerlegung. Wichtigste Ergebnisse Dieses Projekt hat wesentliche Fortschritte in der kinematischen Analyse von parallelen Manipulatoren mit reduziertem Freiheitsgrad gebracht. Diese Ergebnisse wurden hauptsächlich durch die Implementation effizienter Methoden erzielt, die aus den Expertisen beider beteiligter Forschungsgruppen synthetisch in die gemeinsame Arbeit einflossen. Einige schwierige Probleme wie zum Beispiel die Bestimmung der Zwangsgleichungen, die Charakterisierung und Auflistung der Operationsmodi, sämtliche Singularitäten, sowie der Einfluss von Designparametern auf die Anzahl und die Typen der Operationsmodi, auf die Bauformen und Singularitäten konnten vollständig gelöst werden. Verschiedene Familien paralleler Manipulatoren von unterschiedlicher Komplexität wurden studiert, mehr als ursprünglich vorgesehen. Schlussendlich wurde in Nantes auch ein Prototyp eines rekonfigurierbaren parallelen Manipulators gebaut.