Dynamik und CR Geometrie

Wir wollen uns Forschungsproblemen an der Schnittstelle zwischen (lokalen) dynamischenSystemen, CRGeometrie, algebraischerGeometrieund Pluripotentialtheorie widmen. Diese Gebiete haben enge Beziehungen zueinander, manche offener als andere: So spielt die Theorie dynamischer Systeme eine wichtige Rolle in der Klassifikation symmetrischer CR Mannigfaltigkeiten, welche ihrerseits als natürliche invariante Objekte für eben diese Systeme auftauchen. Die Frage nach der Beziehung zwischen formaler und analytischer Klassifikation führt zu natürlichen, offenen Fragestellungen der algebraischen Geometrie im Zusammenhang mit dem Artinschen Approximationssatz. Der Bogen zur Pluripotentialtheorie wird durch die Suche nach Invarianten, welche als Ersatz für die analytischen Invarianten in nicht regulären Situationen dienen können, gespannt.

In unsererem Projekt haben wir zwei verschiedene Gebiete der Mathematik, die Cauchy-Riemann Geometrie und die Theorie der Dynamischen Systeme, miteinander verbunden: Dieses Projekt bestand aus einer Kollaboration von französischen Mathematikern aus Nizza, welche vor allem in der Theorie der Dynamischen Systeme forschen, und von Mathematikern aus Wien, deren Spezialität die Cauchy-Riemann (CR) Geometrie ist. Verbunden hat uns vor allem das Zusammenspiel zwischen sogenannten "formalen" und "wirklichen" Abbildungen zischen Objekten. Formale Abbildungen treten in beiden Theorien ganz von selber auf, wenn man versucht, zu verstehen, ob zwei gegebene Objekte (Dynamische Systeme oder CR Mannigfaltigkeiten) in Wirklichkeit gleich sind, oder wenn man versucht, für ein gegebenes Objekt eine möglichst einfache Form zu finden. interessiert ist man üblicherweise an echten Abbildungen. Dynamische Systeme sind mathematische Modelle für viele physikalische Phänomene, und ihre Beziehung zu CR Mannigfaltigkeiten sind schon lange von grossem Interesse gewesen. CR Mannigfaltigkeiten sind geometrische Objekte, mit deren Hilfe man versucht, komplexe Eigenschaften partieller Differentialgleichungen zu verstehen. Unser Projekt war äusserst erfolgreich, einige der Publikationen konnten in sehr prestigeträchtigen mathematischen Journalen publiziert werden (wie die Topjournale Acta Mathematicia und Inventiones Mathematicae). Besonders wichtig waren zwei Arten von Resultaten: Zunächst konnten wir die "Konvergenz" von formalen Abbildungen unter natürlichen Bedingungen sicherstellen (dann sind es tatsächlich richtige Abbildungen). Genauer gesagt sagt eines unserer Resultate, dass wenn es eine divergente Abbildung einer minimalen CR Mannigfaltigkeit in eine andere CR Mannigfaltigkeit gibt, die zweite (das "Ziel") analytische Varietäten beinhalten muss (d.h. Gegenden, in denen die Struktur in gewisser Weise degeneriert). Weiters konnten wir einfache Modelle-sogenannte Normalformen-für bestimmte CR Mannigfaltigkeiten konstruieren, die es erlauben, diese zu vergleichen. Hier muss man wiederum sicherstellen, dass die Normalform konvergiert, also wieder ein echtes Objekt darstellt. Auch das ist uns (für die Klasse der Levi-nichtdegenerierten CR Mannigfaltigkeiten) gelungen, wobei es hier notwendigerweise Bedingungen gibt, welche erfüllt sein müssen, um Konvergenz garantieren zu können. Wir konnten hier auch eine besonders elegante Weise finden, diese Bedingungen darzustellen.