Neue Perspektiven auf residuierte Halbordnungen

Residuierte Halbordnungen sind algebraische Strukturen, die in verschiedensten Gebieten der Logik und Mathematik von Wichtigkeit sind. Zu nennen sind im Bereich nichtklassischer Logik etwa die intuitionistische und die lineare Logik sowie die mehrwertigen und die substrukturellen Logiken sowie im mathematischen Bereich die Ringtheorie. Von einigen speziellen Unterklassen abgesehen ist die systematische Beschreibung der Struktur dieser partiell geordneten Algebren bis heute eine Herausforderung geblieben. Unser Projekt zielt auf einen substantiellen Fortschritt hinsichtlich der Theorie residuierter Halbordnungen. Unsere Absicht ist es, die derzeit recht beschränkte Teilklasse, deren Struktur im Detail bekannt ist, zu erweitern. Die Struktur residuierter Halbordnungen so genau wie etwa diejenige von MV- oder BL-Algebren zu kennen wäre von hoher Relevanz für eine Reihe lang bestehender Probleme beispielsweise auf Seiten der Logik; man denke etwa an Fragen bezüglich der Komplexität der Fuzzylogik MTL. Unser Vorgehen ist das folgende. Die Grundlage unserer Arbeit bildet eine Reihe vielversprechender Ansätze aus jüngerer Zeit; neue Ergebnisse gibt es zu Erweiterungen linear geordneter Monoide, zu endlichen linear geordneten MTL-Algebren oder zu den Kongruenzen von Pseudo-BCK-Algebren, um nur einige neue Herangehensweisen zu nennen. Diese sollen weiterentwickelt und auf ihre wechselseitigen Beziehungen hin untersucht werden. Die entsprechenden Kompetenzen sind über die Arbeitsgruppen verteilt; diese zusammenzuführen und zu bündeln ist die mit dem beantragten Projekt verfolgte Absicht.

Residuierte Halbordnungen spielen in verschiedensten Gebieten der Mathematik eine Rolle. Um ein einfaches Beispiel zu geben, denke man an ein System von Aussagen, das etwa im Rahmen einer Logik untersucht wird. Gewisse dieser Aussagen sind von ihrer Stärke her vergleichbar; und je zwei dieser Aussagen lassen sich im Sinne einer Konjunktion oder einer Implikation verknüpfen. Damit liegt eine Struktur genau desjenigen Typs vor, um den es hier geht. Das Ziel des Projektes war, die unter Umständen sehr komplizierte Struktur residuierter Halbordnungen besser zu verstehen. Im allgemeinen Fall ist wenig erreichbar, wir haben uns daher auf Strukturen konzentriert, die in speziellerem Kontext auftreten. Deren Theorie haben wir in zahlreichen Fällen und in vielerlei Hinsicht erweitert. Beispielsweise haben wir eine Methode der Konstruktion bestimmter residuierter Halbordnungen definiert. Die Idee bestand darin, von einer einfachen Struktur auszugehen und diese zu einer komplexeren zu erweitern. Als Anwendung ergab sich die Möglichkeit, zum schwierigen Problem beizutragen, die in der Fuzzylogik zur Interpretation der Konjunktion verwendeten Operationen zu systematisieren. Wir haben des weiteren gewisse endliche residuierte Ketten untersucht. Wir haben eine Methode definiert, all diese Strukturen mit einer gegebenen Zahl von Elementen aus denjenigen zu bestimmen, die ein Element weniger besitzen. Es ergab sich folglich die Möglichkeit, der Reihe nach alle Strukturen des betrachteten Typs zu generieren. Der Algorithmus ist in Form eines Computerprogramms realisiert. Wir haben sodann Strukturen betrachtet, die im weiteren Umfeld der Quantenphysik auftreten. Es gibt derweil solche, denen gewisse fundamentale Eigenschaften abgehen, wie dass etwa binäre Operationen nicht für alle Paare von Elementen definiert sind. Unser Thema war, das Konzept der Residuierung auch in diesem Kontext zu betrachten. Schließlich hatten wir oben die Wichtigkeit des Begriffs der Residuiertheit in der Logik erwähnt. Dementsprechend haben wir das Wechselspiel zwischen Eigenschaften gewisser Logiken und denjenigen entsprechender Algebren untersucht.