Neue Funktionenraeume Auf Gebieten

Dieses Projekt beschäftigt sich mit hochaktuellen Problemen der modernen Signalanalyse. Das übergeordnete Ziel jeder Datenanalyse ist stets die Extraktion der im speziellen Anwendungskontext relevanten Information. Gerade in jüngster Zeit sah sich die angewandte Mathematik mit völlig neuen Herausforderungen konfrontiert, die zum Beispiel durch das Auftreten extrem hoher Datenmengen (Big Data Problem) verursacht worden waren. Aus diesem Grund ist in den letzten Jahren eine Vielzahl von speziellen Darstellungssystemen entwickelt worden. Diese erlauben zum Beispiel eine extrem dünne Darstellung des Signals oder auch die Extraktion spezieller Information wie etwa Richtungsinformationen. Ein natürliches Ziel aktueller Forschung ist es, dieseschlagkräftigen Darstellungssysteme auch für die numerische Behandlung von Operatorgleichungen nutzbar zu machen. Dies erfordert die Bearbeitung eines grundlegendes Problems: beinahe alle der neuen Darstellungssysteme sind für die gesamte euklidische Ebene konstruiert worden, während für die Numerik von Operatorgleichungen die Betrachtung beschränkter Gebiete und Mannigfaltigkeiten unerlässlich ist. Es ist das erklärte Ziel dieses Projektes, erheblich zur Behebung dieses Mankos beizutragen. Es ist unser Plan, geeignete Varianten der wichtigsten Darstellungssysteme wie Shearlet Frames und Gabor Frames für beschränkte Gebiete und Mannigfaltigkeiten entwickeln. Neben allgemeinen Ansätzen über Fortsetzungsoperatoren,Gebietszerlegungen usw. sollen spezielle Konzepte der Coorbit-Theorie zur Anwendung kommen. Um langfristig schlagkräftige numerische Algorithmen zu etablieren, müssen außerdem die Kompressionseigenschaften der mit den Darstellungssystemen assoziierten biinfiniten Steifigkeitsmatrizen untersucht werden. Die Approximationseigenschaften der neuen Darstellungssysteme werden ebenfalls systematisch studiert werden. Außerdem werden wir Regularitätsuntersuchungen für wichtige Klassen von Operatorgleichungen durchführen. Diese werden eine fundierte Entscheidung hinsichtlich der optimalen Auswahl des Diskretisierungssystems für eine gegebene Problemklasse ermöglichen.

Partielle Differenzialgleichungen sind ein zentrales Werkzeug zur Modellierung unserer physikalischen Welt. Da diese Gleichungen im Allgemeinen nicht exakt durch Formeln lösbar sind, erfordert ihre Lösung numerische Methoden. Die am häufigsten verwendete Methode setzt sogenannte "Finite Elemente" als Ansatzfunktionen ein. Mathematisch lässt sich beweisen, dass dieser Ansatz für bestimmte Klassen von partiellen Differenzialgleichungen optimal ist. Dennoch gibt es wichtige Problemstellungen - etwa hochdimensionale Probleme oder solche mit komplexen Singularitäten - bei denen Finite Elemente ungeeignet sind. Für diese Probleme werden herkömmliche Ansätze derart komplex, dass selbst modernste Supercomputer an ihre Grenzen stoßen. In diesem Projekt wurden neue Systeme von Ansatzfunktionen entwickelt, die eine effiziente numerische Lösung hochdimensionaler und singulärer Probleme ermöglichen. Einerseits wurden die mathematischen Grundlagen geschaffen, um solche Systeme für Probleme auf komplexen Geometrien nutzbar zu machen. Andererseits wurden moderne Methoden des Tiefen Lernens entwickelt, um verschiedene hochdimensionale Probleme erstmals effizient zu lösen. Beispiele hierfür sind die Black-Scholes-Gleichung aus der Finanzmathematik und die elektronische Schrödingergleichung aus der Quantenchemie. Weiterhin wurden theoretische Ergebnisse hinsichtlich der bestmöglichen Konvergenzordung adaptiver Verfahren bewiesen. Diese dienen als Benchmark bei der Entwicklung neuer Diskretisierungsverfahren. Außerdem wurden mittels der Coorbit-Theorie neue Ansatzsysteme entwickelt, die in naher Zukunft bei der numerischen Lösung von PDEs auf Mannigfaltigkeiten, etwa auf Sphären, Verwendung finden werden.