Geometrie der Zahlen und Diophantische Approximation

Dieses mathematische Forschungsprojekt wird gemeinsam vom österreichischen Wissenschaftsfonds FWF und dem Russischen Wissenschaftsfonds RSF gefördert. Auf österreichischer Seite nehmen 5 Forscher in Graz, Wien und Leoben teil, auf russischer Seite 10 Forscher in Chabarowsk und Moskau. Die Geometrie der Zahlen und die diophantische Approximation sind zwei eng miteinander verwandte Teildisziplinen der Zahlentheorie, jenes mathematischen Gebietes das sich mit den Eigenschaften von (ganzen, rationalen oder reellen) Zahlen beschäftigt. Eine typische Frage der Geometrie der Zahlen ist jene, wie viele Punkte eines mehrdimensionalen Gitters in einer bestimmten vorgegebenen Menge enthalten sind. Diese Anzahl hängt offensichtlich von der Feinmaschigkeit des Gitters ab, sowie von der Größe der Menge in der die Gitterpunkte liegen sollen. Aber kann man diese Beobachtungen genauer fassen, und wie groß ist der Fehler in einer mathematischen Annäherungsformel? Oder, eine weitere Frage, wie groß muss eine (konvexe) Menge mindestens sein, damit sie zwangsläufig zumindest einen Gitterpunkt enthält? Die diophantische Approximation, die nach Diophantus von Alexandria benannt ist und auf eine mehrtausendjährige Geschichte zurückblickt, beschäftigt sich damit wie genau relle Zahlen durch rationale Zahlen (also Brüche) angenähert werden können. Die Kreiszahl Pi beispielsweise, die bekanntlich nicht als Bruch dargestellt werden kann (d.h. irrational ist), wird durch den Bruch 22/7 sehr genau angenähert. Eine noch deutlich bessere Annäherung ist 355/113, wie chinesische Mathematiker schon vor 1500 Jahren wussten. Wie kann man solche Annäherungen erhalten? Eine wie genaue Approximation ist möglich, wenn man voraussetzt dass der Nenner des Bruches unter einer vorgegeben Schranke bleiben muss? Wenn man die Zahl Pi durch eine andere Zahl ersetzt, z.B. die Eulersche Zahl e, wie genau kann die Annäherung dann sein, und was sagt das über die Zahlen Pi und e aus? Das sind typische Fragen der diophantischen Approxmation. Beide Disziplinen, die Geometrie der Zahlen und die diophantische Approximation, blicken auf eine lange und stolze Geschichte sowohl in Österreich als auch in Russland zurück. Zwei der bedeutendten österreichischen Mathematiker der zweiten Häfte des 20. Jahrhunderts, Edmund Hlawka und Wolfgang Schmidt, haben intensiv auf diesen Gebieten geforscht. In den letzten Jahren gab es mehrere aufregende Entwicklung in diesen beiden Gebieten, darunter die Entwicklung der sogenannten Parametrischen Geometrie der Zahlen. Dadurch kamen einige seit vielen Jahrzehnten ungelöste Probleme plötzlich in Reichweite. Dieses gemeinsame FWF-RSF Projekt gibt den beteiligten Forschern die einmalige Möglichkeit, die (teils unterschiedlich ausgerichtete) Expertise der österreichischen und der russischen zahlentheoretischen Schulen zu verbinden, um gemeinsam einige der wichtigsten ungelösten Probleme in diesen Gebieten in Angriff zu nehmen.

Dieses Projekt förderte die intensive Zusammenarbeit zwischen russischen und österreichischen Mathematikern. Es beschäftigte sich mit grundlegenden Fragen der Natur unserer Zahlen, etwas damit wie gut sich reelle Zahlen durch rationale Zahlen approximieren lassen. Auch die Lösung von Gleichungen in ganzen Zahlen stand im Zentrum dieses Projekts.