Geometrische Formerzeugung

Explizite Klassifikationsergebnisse und Darstellungsformeln sind eine Schlüsselmethode in der Differentialgeometrie der Kurven und Flächen - sie dienen der Erzeugung geometrischer Formen (Kurven und Flächen) mit bestimmten vorgegebenen Eigenschaften: Zum Beispiel dienen die klassischen Weierstrassformeln zur Erzeugung von Flächen mit (lokal) minimalem Flächeninhalt aus einfachen Daten. "Transformationen" liefern eine andere Methode zur Erzeugung bestimmter Formen: Sie transformieren eine gegebene (einfache) Form mit den gewünschten Eigenschaften in eine neue (kompliziertere) Form der gleichen Art. Während solche "Formerzeugungsmethoden" Formen mit den gewünschten Eigenschaften aus geeigneten Daten exakt herstellen, ist es oft nicht leicht, andere Eigenschaften der erzeugten Formen bei dem Prozess zu kontrollieren - ein sehr genaues Verständnis der gewünschten Formen sowie der benutzten Methode sind erforderlich. Diese Methoden zur Erzeugung von Formen mit bestimmten Eigenschaften spielen nicht nur für die Erzeugung interessanter Formen zu Design oder Illustrationszwecken eine wichtige Rolle, sondern auch für ein besseres Verständnis der untersuchten Klasse von Formen. Insbesondere spielen Transformationen auch eine Schlüsselrolle bei der Beschreibung von Facetten- bzw Paneelflächen, die ähnliche Eigenschaften wie die untersuchten glatten Flächen haben. In diesem Projekt sollen verschiedene Methoden zur Formerzeugung untersucht und verglichen werden: Insbesondere im Hinblick auf ihre Beziehungen und Wechselwirkungen untereinander; die zugehörigen Facetten- bze Paneelflächen und, in Folge, entsprechende Methoden zu deren Erzeugung; die Anwendbarkeit der Methoden und ihren Wirkungsbereich in Theorie und Praxis, insbesondere in Kunst und Design. Durch die Verbindung dieser verschiedenen Aspekte der geometrischen Formerzeugung erwarten wir, neue Einsichten in Fragen der Formerzeugung zu gewinnen - und so neue und interessante Methoden der geometrischen Erzeugung von Formen mit bestimmten vorgegebenen Eigenschaften zu finden. Die geplante Zusammenarbeit mit Forschern in Japan wird wesentlich zum Erfolg des Projekts beitragen: Sie wird uns ermöglichen, Kompetenzen aus den verschiedensten Bereichen, die für die Hauptfragen des Projekts von Bedeutung sind, zu kombinieren. Die geplante Förderung längerer Gastaufenthalte jüngerer Forscher[innen] wird wesentlich dazu beitragen, zukunftsorientierte und potentiell lang währende Zusammenarbeit zu fördern.

Explizite Klassifikationen und Darstellungsformeln sind eine Schlüsselmethode in der Differentialgeometrie der Kurven und Flächen - sie dienen der Erzeugung geometrischer Formen (Kurven und Flächen) mit bestimmten vorgegebenen Eigenschaften: Zum Beispiel kann jede Fläche mit (lokal) minimalem Flächeninhalt mit Hilfe der klassischen Weierstrassformeln aus einfachen Daten erzeugt werden. "Transformationen" liefern eine andere Methode der Formerzeugung: Sie transformieren eine gegebene (einfache) Form mit den gewünschten Eigenschaften in eine neue (oft komplexere) Form der gleichen Art. Während solche "Formerzeugungsmethoden" Formen mit den gewünschten Eigenschaften aus geeigneten Daten exakt herstellen, ist es oft nicht leicht, andere Eigenschaften der erzeugten Formen im Prozess zu kontrollieren - ein sehr genaues Verständnis der gewünschten Formen sowie der benutzten Methode ist erforderlich. Diese Methoden zur Erzeugung von Formen mit bestimmten Eigenschaften spielen nicht nur für die Erzeugung interessanter Formen für Design oder Illustrationszwecke eine wichtige Rolle, sondern auch für ein besseres Verständnis der untersuchten Formen. Insbesondere spielen Transformationen auch eine Schlüsselrolle bei der Beschreibung von Facetten- bzw Paneelflächen, die ähnliche Eigenschaften wie die untersuchten glatten Flächen haben. In diesem Projekt wurden verschiedene Methoden zur Formerzeugung untersucht, insbesondere im Hinblick auf: - ihre Beziehungen und Wechselwirkungen untereinander; - die zugehörigen Facetten- bze Paneelflächen und, in Folge, entsprechende Methoden zu deren Erzeugung; - die Anwendbarkeit der Methoden und ihren Wirkungsbereich in Theorie und Praxis, insbesondere in Kunst und Design. Insbesondere haben wir - neue Methoden zur Erzeugung von Formen, für die es bisher noch keine einfache Methode gab, entwickelt, insbesondere für bestimmte Klassen facettierter Flächen; - die Beziehungen zwischen verschiedenen Formerzeugungsmethoden für bestimmte Flächen der hyperbolischen Geometrie untersucht und damit bessere Einsicht sowohl in die Methode als auch die Klasse von Flächen erhalten; - ein besseres Verständnis für die Erzeugung von zirkulären oder zyklidischen Netzen gewonnen und eine Software für Designanwendungen implementiert; - durch Anwendung der untersuchten Formerzeugungsmethoden eine bessere Einsicht in verschiedene offene Probleme der Geometrie erhalten. Andererseits hat das Projekt auch neue Ideen und Ansätze zur Lösung aktueller Forschungsfragen inspiriert. Die enge Zusammenarbeit mit Forschern in Japan hat eine aussergewöhnliche Kombination von Kompetenzen auf verschiedenen Gebieten der Geometrie hergestellt, die der Schlüssel zum Erfolg des Projekts war. Diese Zusammenarbeit hat auch zu neuen Forschungsfragen und Projekten geführt, insbesondere für jüngere Forscher[innen], und hat so zu einer positiven Entwicklung des Forschungsumfelds beigetragen.