Diophantische Zahlentheorie

Seit mehr als 30 Jahren haben die Zahlentheorie-Gruppen in Österreich (geleitet von Robert Tichy) und Ungarn (geleitet von Klmn Gyory) eng über Diophantische Probleme zusammengearbeitet, also über Probleme, die in ganzen Zahlen zu lösen sind. Im Rahmen dieses Projekts soll diese Kooperation weitergeführt und ausgebaut werden. Der Fokus liegt dabei sowohl auf effektiven Methoden als auch auf Anwendungen des ineffektiven Zugangs von Siegel und auf Schmidt`s Teilraumsatz. Wir sind an Polynomzerlegungen und Algorithmen interessiert, insbesondere im Kontext mit linearen Rekursionen und arithmetischen dynamischen Systemen, die mit Zifferndarstellungen zusammenhängen. Matijasevic (1970) hat gezeigt, dass kein Algorithmus zur Lösung beliebiger polynomieller Diophantischer Gleichungen existiert. Allerdings hat A. Baker in den 1960`er Jahren ein allgemeines effektives Verfahren entwickelt, mit welchem große Klassen polynomieller und exponentieller Gleichungen gelöst werden können. Für den enormen Fortschritt, der durch die Entwicklung dieser Methode der Linearformen in Logarithmen erzielt werden konnte, erhielt A. Baker 1970 die Fields Medaille. Im gegenständlichen Projekt werden klassische Methoden, in denen die ungarische Gruppe weltweites Ansehen genießt (insbesondere Gyory) mit analytischen und geometrischen Ansätzen kombiniert, welche die österreichischen Gruppen mit internationalen Kooperationspartnern (Wüstholz, Zannier etc.) entwickelt haben. Auf österreichischer Seite sind 9 Forscherinnen und Forscher involviert: Tichy, Fuchs, Ziegler, Kreso, Chim, Planitzer, Ddamulira, und bei Bewilligung zwei neue PhD Studenten. Auf ungarischer Seite sind 12 Teilnehmer beteiligt: Györy, Gal, Pintér, Hajdu, Bérczes, Szalay, Tengely, Pink, Bazs, Györkös-Varga, Szikszai und Bertk. Das vorliegende Projekt deckt die breiten gemeinsamen Interessensgebiete ab, spricht aber auch neue Themenkreise an, etwa im Zusammenhang mit verallgemeinerten Ramanujan-Nagell Gleichungen. Abschließend sei angemerkt, dass Diophantische Probleme zahlreiche Anwendungen in vielen Gebieten der Mathematik, etwa in Kombinatorik, Algebra, diskreter Optimierung, Dynamik und Kryptographie besitzen.

Diophantische Zahlentheorie beschäftigt sich mit Problemen deren Lösung im Bereich der ganzen Zahlen gesucht werden. Dazu gehören Gleichungen, Ungleichungen und Fragestellungen mit geometrischen Hintergrund. Dieses Teilgebiet der Mathematik ist uralt und geht auf den griechischen Mathematiker Diophantos von Alexandria zurück. In der neuersten Zeit gestattet diese Forschungsrichtung wesentliche Anwendungen bei der Datenverschlüsselung und Kodierung. Außerdem konnten in den letzten 50 Jahren Jahrhunderte lang offene Probleme gelöst werden wie etwa das große Fermat Problem oder das Problem von Catalan. Im gegenständlichen Projekt wurden tiefliegende Resultate über diophantische m-tupel und über Gleichungen vom Catalan'schen Typ erzielt. Diese Ergebnisse haben große Aufmerksamkeit im Fachpublikum hervorgerufen.