Regularität von Bergman/Szegö Kernen, CR Einbettungen

Partielle Differentialgleichungen (partial differential equations, PDEs) werden zur Modellierung vieler natürlicher Prozesse herangezogen. Bis in die 1950er Jahre ging man eigentlich davon aus, dass sämtliche partiellen Differentialgleichungen unter natürlichen Voraussetzungen auch lösbar sind. Hans Lewy gab dann ein Beispiel einer PDE, die keine Lösungen besitzt. Dieses überraschende Beispiel zeigte, dass gewisse PDEs zur Lösbarkeit mehr als nur die natürlichen Voraussetzungen besitzen. Unser Forschungsprojekt widmet sich einer geometrischen Interpretation der Lösbarkeit (Integrabilität) von einer breiten Klasse von linearen PDEs erster Ordnung, den sogenannten (tangentialen) CR Gleichungen. Hier wird die PDE als abstrakte geometrische Struktur (CR Mannigfaltigkeit) aufgefasst, und die Lösbarkeit der PDE wird als Realisierbarkeit in einem konkreten euklidischen Raum interpretiert, über eine sogenannte Einbettung (embedding). Es gibt in diesem Zusammenhang sowohl lokale (Lösbarkeit auf kleinen Teilmengen) als auch globale Fragestellungen, die unterschiedliche Aspekte haben. Oft gibt es zufriedenstellende globale Theorien nur für in gewisser Weise kleine CR Mannigfaltigkeiten, und es ist fast immer notwendig, starke Voraussetzungen an diese zu stellen, um zu zufriedenstellenden Ergebnissen zu gelangen. Unser Projekt zielt einerseits darauf ab, diese Voraussetzungen zu mildern, und andererseits, auch gute globale Theorien für grosse CR Mannigfaltigkeiten zu finden. Wir haben dafür ein internationales Team bestehend aus Forschern aus Taiwan und Österreich zusammengestellt, die dieses Problem unter Verwendung von in den letzten Jahren neu entwickelten Methoden frisch beleuchten sollen.