Regularität von Bergman/Szegö Kernen, CR Einbettungen
Regularity of Bergman, Szegö Kernels, CR manifold embedding
Bilaterale Ausschreibung: Taiwan
Wissenschaftsdisziplinen
Mathematik (100%)
Keywords
-
CR Geometry,
Several Complex Variables,
Bergman Kernel,
Regularity of CR embeddings,
Szegö Kernel
Partielle Differentialgleichungen (partial differential equations, PDEs) werden zur Modellierung vieler natürlicher Prozesse herangezogen. Bis in die 1950er Jahre ging man eigentlich davon aus, dass sämtliche partiellen Differentialgleichungen unter natürlichen Voraussetzungen auch lösbar sind. Hans Lewy gab dann ein Beispiel einer PDE, die keine Lösungen besitzt. Dieses überraschende Beispiel zeigte, dass gewisse PDEs zur Lösbarkeit mehr als nur die natürlichen Voraussetzungen besitzen. Unser Forschungsprojekt widmet sich einer geometrischen Interpretation der Lösbarkeit (Integrabilität) von einer breiten Klasse von linearen PDEs erster Ordnung, den sogenannten (tangentialen) CR Gleichungen. Hier wird die PDE als abstrakte geometrische Struktur (CR Mannigfaltigkeit) aufgefasst, und die Lösbarkeit der PDE wird als Realisierbarkeit in einem konkreten euklidischen Raum interpretiert, über eine sogenannte Einbettung (embedding). Es gibt in diesem Zusammenhang sowohl lokale (Lösbarkeit auf kleinen Teilmengen) als auch globale Fragestellungen, die unterschiedliche Aspekte haben. Oft gibt es zufriedenstellende globale Theorien nur für in gewisser Weise kleine CR Mannigfaltigkeiten, und es ist fast immer notwendig, starke Voraussetzungen an diese zu stellen, um zu zufriedenstellenden Ergebnissen zu gelangen. Unser Projekt zielt einerseits darauf ab, diese Voraussetzungen zu mildern, und andererseits, auch gute globale Theorien für grosse CR Mannigfaltigkeiten zu finden. Wir haben dafür ein internationales Team bestehend aus Forschern aus Taiwan und Österreich zusammengestellt, die dieses Problem unter Verwendung von in den letzten Jahren neu entwickelten Methoden frisch beleuchten sollen.
CRGeometrie untersucht Strukturen, die eng mit Lösungen eines Systems erster Ordnung verknüpft sind - den CRDifferentialgleichungen. Eine zentrale Rolle spielt dabei die Pseudokonvexität: Sie liefert eine robuste geometrische Bedingung (insbesondere in ihrer strikten Variante), die natürliche Grenzen von Lösungen (über die sie nicht notwendigerweise fortgesetzt werden können) charakterisieren. Ein weiteres wichtiges Werkzeug sind Integralkerne wie der SzegKern (bzw. der Bergman und der Leray-Kern), der Lösungen der homogenen CRGleichungen über Integraldarstellungen reproduziert. Im Projekt haben wir unter anderem den Nutzen solcher Kerne für Einbettungsprobleme untersucht, und wollen hier beispielhaft ein Resultat darstellen. Gemeinsam mit Partnern aus Taiwan konnten wir folgende Frage untersuchen: Zwar sind "die meisten" strikt pseudokonvexen CRStrukturen nicht in Sphären einbettbar - ein deutlicher Unterschied zur Riemann'schen Geometrie, in der Mannigfaltigkeiten klassisch in den euklidischen Raum eingebettet werden. Wir zeigen jedoch (mit Herrmann und Hsiao), dass sich jede strikt pseudokonvexe CRStruktur beliebig gut durch Strukturen approximieren lässt, die sich tatsächlich in Sphären einbetten. Das Ergebnis erweitert das Verständnis der Einbettbarkeit in der CRGeometrie deutlich. Es eröffnet neue Wege, schwierige Strukturen über gut verstandene sphäreneinbettbare Modelle zu analysieren. Aktuelle Fragen betreffen Approximationen durch algebraische Strukturen und präzise Beziehungen zwischen einer gegebenen strikt pseudokonvexen CRStruktur und ihren sphäreneinbettbaren Approximationen.
- Universität Wien - 100%
- Chin-Yu Hsiao, National Taiwan University - China
- Nordine Mir, Texas A&M University at Qatar - Qatar
- Peter Ebenfelt, University of California San Diego - Vereinigte Staaten von Amerika
Research Output
- 3 Zitationen
- 9 Publikationen
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2025
Titel Cauchy transforms and Szeg projections in dual Hardy spaces: Inequalities and Möbius invariance DOI 10.1016/j.jfa.2025.110980 Typ Journal Article Autor Barrett D Journal Journal of Functional Analysis -
2025
Titel A sphericity criterion for strictly pseudoconvex hypersurfaces in $\mathbb{C}^{2}$ via invariant curves DOI 10.4171/rmi/1537 Typ Journal Article Autor Bertrand F Journal Revista Matemática Iberoamericana -
2024
Titel The Borel Map for Compact Subanalytic Subsets of $$\mathbb {C}^m$$ DOI 10.1007/s12220-024-01596-8 Typ Journal Article Autor Cordaro P Journal The Journal of Geometric Analysis -
2022
Titel An upper bound for the first positive eigenvalue of the Kohn Laplacian on Reinhardt real hypersurfaces DOI 10.1090/proc/16077 Typ Journal Article Autor Dall’Ara G Journal Proceedings of the American Mathematical Society Seiten 123-133 Link Publikation -
2022
Titel The equivalence theory for infinite type hypersurfaces in C 2 \mathbb {C}^{2} DOI 10.1090/tran/8627 Typ Journal Article Autor Ebenfelt P Journal Transactions of the American Mathematical Society Seiten 4019-4056 Link Publikation -
2022
Titel The CR umbilical locus of a real ellipsoid in $\mathbb{C}^2$ DOI 10.48550/arxiv.2205.03342 Typ Preprint Autor Son D -
2023
Titel Heat kernel asymptotics for Kohn Laplacians on CR manifolds DOI 10.1016/j.jfa.2022.109755 Typ Journal Article Autor Hsiao C Journal Journal of Functional Analysis -
2021
Titel An upper bound for the first positive eigenvalue of the Kohn Laplacian on Reinhardt real hypersurfaces DOI 10.48550/arxiv.2110.06704 Typ Preprint Autor Dall'Ara G -
2021
Titel -regularity of the Bergman projection on quotient domains DOI 10.4153/s0008414x21000079 Typ Journal Article Autor Bender C Journal Canadian Journal of Mathematics