Regularität von Bergman/Szegö Kernen, CR Einbettungen

Partielle Differentialgleichungen (partial differential equations, PDEs) werden zur Modellierung vieler natürlicher Prozesse herangezogen. Bis in die 1950er Jahre ging man eigentlich davon aus, dass sämtliche partiellen Differentialgleichungen unter natürlichen Voraussetzungen auch lösbar sind. Hans Lewy gab dann ein Beispiel einer PDE, die keine Lösungen besitzt. Dieses überraschende Beispiel zeigte, dass gewisse PDEs zur Lösbarkeit mehr als nur die natürlichen Voraussetzungen besitzen. Unser Forschungsprojekt widmet sich einer geometrischen Interpretation der Lösbarkeit (Integrabilität) von einer breiten Klasse von linearen PDEs erster Ordnung, den sogenannten (tangentialen) CR Gleichungen. Hier wird die PDE als abstrakte geometrische Struktur (CR Mannigfaltigkeit) aufgefasst, und die Lösbarkeit der PDE wird als Realisierbarkeit in einem konkreten euklidischen Raum interpretiert, über eine sogenannte Einbettung (embedding). Es gibt in diesem Zusammenhang sowohl lokale (Lösbarkeit auf kleinen Teilmengen) als auch globale Fragestellungen, die unterschiedliche Aspekte haben. Oft gibt es zufriedenstellende globale Theorien nur für in gewisser Weise kleine CR Mannigfaltigkeiten, und es ist fast immer notwendig, starke Voraussetzungen an diese zu stellen, um zu zufriedenstellenden Ergebnissen zu gelangen. Unser Projekt zielt einerseits darauf ab, diese Voraussetzungen zu mildern, und andererseits, auch gute globale Theorien für grosse CR Mannigfaltigkeiten zu finden. Wir haben dafür ein internationales Team bestehend aus Forschern aus Taiwan und Österreich zusammengestellt, die dieses Problem unter Verwendung von in den letzten Jahren neu entwickelten Methoden frisch beleuchten sollen.

CRGeometrie untersucht Strukturen, die eng mit Lösungen eines Systems erster Ordnung verknüpft sind - den CRDifferentialgleichungen. Eine zentrale Rolle spielt dabei die Pseudokonvexität: Sie liefert eine robuste geometrische Bedingung (insbesondere in ihrer strikten Variante), die natürliche Grenzen von Lösungen (über die sie nicht notwendigerweise fortgesetzt werden können) charakterisieren. Ein weiteres wichtiges Werkzeug sind Integralkerne wie der SzegKern (bzw. der Bergman und der Leray-Kern), der Lösungen der homogenen CRGleichungen über Integraldarstellungen reproduziert. Im Projekt haben wir unter anderem den Nutzen solcher Kerne für Einbettungsprobleme untersucht, und wollen hier beispielhaft ein Resultat darstellen. Gemeinsam mit Partnern aus Taiwan konnten wir folgende Frage untersuchen: Zwar sind "die meisten" strikt pseudokonvexen CRStrukturen nicht in Sphären einbettbar - ein deutlicher Unterschied zur Riemann'schen Geometrie, in der Mannigfaltigkeiten klassisch in den euklidischen Raum eingebettet werden. Wir zeigen jedoch (mit Herrmann und Hsiao), dass sich jede strikt pseudokonvexe CRStruktur beliebig gut durch Strukturen approximieren lässt, die sich tatsächlich in Sphären einbetten. Das Ergebnis erweitert das Verständnis der Einbettbarkeit in der CRGeometrie deutlich. Es eröffnet neue Wege, schwierige Strukturen über gut verstandene sphäreneinbettbare Modelle zu analysieren. Aktuelle Fragen betreffen Approximationen durch algebraische Strukturen und präzise Beziehungen zwischen einer gegebenen strikt pseudokonvexen CRStruktur und ihren sphäreneinbettbaren Approximationen.