Persistente Homologie, Algorithmen, & stochastische G.

Das Gebiet der topologischen Datenanalyse entsprang vor zwei Jahrzehnten einer Kombination aus Computer Geometrie and algebraischer Topologie. Es ist hauptsächlich ein Thema das von Mathematikern und Mathematikerinnen bearbeitet wird, aber seine Produkte sind unmittelbar anwendbar und komplementär zu zeitgemässen Arbeiten im maschinellen Lernen, was ein Teilgebiet der Informatik/Statistik ist. Dieses Projekt untersucht Fragen deren Beantwortung zur Weiterentwicklung der topologischen Datenanalyse beitragen aber auch eine Brücke zum maschinellen Lernen schlagen. Die Hauptrichtungen sind A. die Entwicklung der persistenten Homologie zu einer wichtigen Methode innerhalb der stochastischen Geometrie B. die Erweiterung von Ideen der diskreten Morse Theorie auf Fragestellungen die heute ausserhalb des Anwendungsgebietes liegen. Mit den zu erwartenten Ergebnissen werden wir eine tragkräftige Verbindung zwischen noch separaten mathematischen Disziplinen herstellen und diese an Anwendungen ausserhalb der Mathematik heranführen.

Diese Projekt untersucht die folgenden Themen: die Theorie der persistenten Homologie, Algorithmen welche die verschiedenen Aspekte dieser Theorie effizient berechnen, und Fragestellungen aus der stochastischen Geometrie die darauf abzielen den Unterschied zwischen Rauschen und Signal zu verstehen. Zwei der Ergebnisse sind es wert erwähnt zu werden: - Die stochastische Analyse von Voronoi Pfaden (und deren Verallgemeinerungen auf drei und höhere Dimensionen) von geometrischen Objekten, welche zur Messung von Objekten verwendet werden kann die mit anderen Mitteln schwer zu messen sind. Nehmen wir eine kompakte glatte Fläche in drei Dimensionen als Beispiel. Wir haben gezeigt, daß die entsprechende Verallgemeinerung des Voronoi Pfades (eine stückweise lineare Oberfläche dual zum Durchschnitt der Fläche mit den Voronoi Diagrammen von Poisson Punkt Prozessen) dieser Fläche im Erwartungswert eineinhalb mal so groß ist wie die Fläche selbst. Wegen der stückweisen Linearität ist die Größe der Oberflächen leicht zu berechnen, und zwei Drittel davon sind eine stochastische Annäherung der ursprünglichen Fläche. - Die parzielle Tiefen-Ordnung eines gefliterten Komplexes besteht aus den Abhängigkeiten von sogenannten Kanzellierungen die auf die Vereinfachung des Komplexes abzielen. Wir verwenden dabei nur seichte Kanzellierungen die die Homologie Gruppen aufrechterhalten. Diese parzielle Ordnung kann durch Anwendung von zwei speziellen Matrix Reduktions Algorithmen effizient berechnet werden, wobei einer auf Spalten- und der andere auf Zeilen-Operationen basiert. Die Motivation für das letztere Ergebnis ist die Erweiterung der Theorie der persistenten Homologie auf diskrete dynamische Systeme. Das ist in der Tat ein großes Gebiet mit weitreichenden Anwendungen in den Wissenschaften und in der Industrie.