Permutaeder, Associaeder und weit mehr

Permutahedron und Associahedron sind zwei klassische hochdimensionale Objekte mit deren Hilfe sich die mathematische Struktur von Permutationen und Assoziationen einer Menge von n Elementen darstellen lassen. Durch ihre hohe Relevanz in vielen unterschiedlichen Forschungsbereichen haben sie in den letzen Jahren zahlreiche Forscher inspiriert, sodass viele neuen Zusammenhängen in verschiedenen Forschungsfeldern der Mathematik, Informatik, und Physik gefunden wurden. Viele zentrale Fragen zu diesen Objekten sind inzwischen vollständig gelöst, und deren Auswirkung auf unterschiedliche Anwendungsbereiche ist gut verstanden. Jedoch kann man sowohl das Permutahedron als auch das Associahedron auch als spezielle Beispiele einer viel allgemeineren Klasse von mathematischen Objekten auffassen. Für diese verallgemeinerte Sichtweise ergeben sich zahlreiche neue Fragen und Zusammenhänge zu weiteren Forschungsfeldern, die völlig neue Richtungen und Möglichkeiten eröffnen. Unser Projekt liegt in Schnittbereich zwischen theoretischer Informatik und reiner Mathematik. Es behandelt eine Auswahl an ausgewählten Fragen und offenen Problemen die weit über das reine Studium von Permutahedron und Associahedron hinausgehen. Der Fokus liegt dabei auf den folgenden vier Gebieten: Kombinatorik: kombinatorische Eigenschaften, Bijektionen, und Aufzählung relevanter Objekte. Diskrete Geometrie: geometrische Strukturen und konstruktive Methoden. Algorithmen: Graph Eigenschaften und Komplexität des kürzeste-Pfade Problems. Algebra und Wahrscheinlichkeit: Neue Einsichten in die kombinatorischen Grundlagen der freien Wahrscheinlichkeit und ihre Zusammenhänge zu kombinatorischen Hopf Algebren. Um substantiellen Fortschritt zu erzielen wurde ein Team von Experten zusammengestellt, dass die unterschiedlichen Gebiete hervorragend abdecken und an Fragen, die an den Schnittstellen zwischen den Forschungsbereichen auftreten, gemeinsam arbeiten wird. Unsere Forschung schließt auch die Verwendung von computerunterstützen Zugängen sowie die Entwicklung relevanter open-source Software ein.