Klassifikation abgeleiteter Modelle der Determiniertheit

Die Forschungsfragen in diesem Projekt bewegen sich an den Grenzen der Mathematik, genauer gesagt an der Grenze dessen, was in der Mathematik bewiesen werden kann. Inspiriert durch Kurt Gödels berühmte Unvollständigkeitssätze, ist ein zentrales Ziel der Mengenlehre Aussagen, welche im normalen Axiomensystem der Mathematik weder bewiesen noch widerlegt werden können, zu klassifizieren und besser zu verstehen. Eine sehr bekannte Aussage, welche in diesem Sinne nicht bewiesen oder widerlegt werden kann, ist die Existenz von Gewinnstrategien in unendlich langen Zwei -Personen-Spielen. Konkret betrachten wir Spiele in denen zwei Spieler abwechselnd natürliche Zahlen wählen. Welcher Spieler das Spiel gewinnt hängt dann von der unendlichen Folge der natürlichen Zahlen ab, die beide Spieler produziert haben. Ein Spiel heißt determiniert, wenn einer der beiden Spieler eine Gewinnstrategie hat, das heißt eine Strategie, welche ihn immer gewinnen lässt, so lange er so spielt wie die Strategie es vorgibt (abhängig von den Spielzügen seines Gegners). Wir untersuchen Modelle der Mengenlehre in denen jedes solche Zwei-Personen- Spiel determiniert ist. Eine bekannte von Hugh Woodin in den 1980er Jahren entwickelte Methode, um solche Modelle der Determiniertheit zu konstruiere n, ist aus seinem Beweis des Satzes über abgeleitete Modelle entstanden. Wir untersuchen Erweiterungen dieser Methode und wollen solche abgeleiteten Modelle klassifizieren. Anders als bislang betrachten wir abgeleitete Modelle, welche auch für sehr große Unendlichkeiten eine komplexe Struktur haben. Ein solches Modell wurde zum Beispiel kürzlich von Paul Larson und Grigor Sargsyan für die Widerlegung der Iterierbarkeitsvermutung benutzt. Dies legt nahe, dass ein besseres Verständnis solcher Modelle für weitere Fortschritte auf diesem Gebiet zentral ist.