Modellierung und Numerische Simulation von niederdimensionalen Quantensystemen

Dieses Projekt befasst sich mit mathematischer Modellierung und numerischer Simulation von stationären und zeitabhängigen Nichtlinearen Schrödinger-Gleichungen (NLS) für quantenmechanische Systeme die in einer oder mehreren Raumdimensionen eingeschränkt sind. Solche Systeme, etwa das 2DEG (2-dimensionales Elektronengas) oder 1DBEC (eindimensionales Bose-Einstein-Kondensat) sind sowohl vom theoretischen Standpunkt aus als auch für Anwendungen wie Quanten-Halbleiter oder Atom Chips interessant. Eine faszinierende neue Anwendung ist Graphen, ein zweidimensionaler Zustand von Kohlenstoff mit sehr interessanten Eigenschaften. Die erste experimentelle Realisierung wurde kürzlich mit dem Nobelpreis geehrt. Dieses Projekt ist einer der ersten systematischen Schritte zur mathematischen Modellierung und Simulation von Graphen. Eine Reduzierung der Dimension kann von (z.B. sphärischer) Symmetrie oder Translationsinvarianz in einer oder zwei Raumdimensionen herrühren oder von einem Einschluss der Quantenteilchen in einer, zwei ("Quantum wires") oder sogar 3 Raumdimensionen ("Quantum dots"). Der Einschluss kann durch Hinzufügen eines einschliessenden Potentials mit einem kleinen Parameter im Hamiltonoperator beschrieben werden, z.B. ein anisotropes Harmonisches Oszillator-Potential oder homogene Dirichlet-Randbedingungen in einige Richtungen. Der Limes in dem kleinen Parameter ergibt dann das korrekte asymptotische Modell. Trotz ihrer weit verbreiteten Anwendung begann die mathematische Herleitung von Schrödingergleichungen zur Beschreibung solcher eingeschlossenen Systeme erst kürzlich, unter wichtigen Beiträgen von den Teilnehmern dieses Projekts. Wir bringen französische und österreichische Angewandte Mathematiker zusammen, die sowohl an der rigorosen Begründung und mathematischen Analysis solcher niedrig-dimensionalen Modelle als auch ihren numerischen Methoden und Simulationen arbeiten. Dazu kommen einige der besten österreichischen Physiker, die sich am WPI zusammengetan haben, die tatsächlich solche NLS-Modelle und Simulationen für State-of-the-Art Experimente mit solchen fermionischen oder bosonischen Systemen verwenden. Dieses Projekt finanziert keine Experimente, vielmehr wird das Rekalibrieren von Methoden der Modellierung und Numerik in direktem Dialog und Vergleich zwischen Experiment und Simulation bezweckt. Die Mittel dieses Projekts werden hauptsächlich Postdocs (2 x 2 Jahre) und Doktoratsstudenten (2 x 1.5 Jahre) finanzieren, sowie "travel money" (Forschungsaufenthalte, Einladungen von Experten). Der Projektkoordinator und das WPI haben eine hervorragende Erfahrung in der Leitung internationaler interdisziplinärer Projekte über PDEs mit physikalischer Anwendung, wie etwa das grosse Europäische Netzwerk HYKE oder die Marie Curie training multi-site DEASE. Das WPI hat sehr starke wissenschaftliche Verbindungen mit Frankreich, es unterhält sogar eine UMI des CNRS in Wien, das "Institut CNRS Pauli". Das IRMAR ist eines der größeren mathematische Institute in Frankreich, mit einer starken Abteilung für Angewandte Mathematik mit hoher Erfahrung mit Grants wie den ANR-Projekten. Die vorrangigen französischen Teilnehmer, einschließlich des französischen Koordinators, haben bereits in vom WPI koordinierten Projekten wie HKYE teilgenommen. Die gemeinsamen Französisch-Österreichischen Publikationen und Doktorarbeiten in "co- tutelle" und Post-doctoral training, die eines der Resultate dieses Projekts sind, sind weitere Belege für das hohe Maß der wissenschaftlichen Zusammenarbeit. Dieses Projekt wird auerdem neue Simulations-Tools entwickeln, z.B. ein "Programmpaket" für numerische Simulationen für allgemeine NLS in 1-, 2- und 3-d für generelle Verwendung in der Community. Solche Simulations-Tools sind sowohl für Experimente in grundlegender Forschung der Quantenphysik (z.B. bei Verwendung von BEC aus ultra-kalten Atomen) als auch in der Entwicklung von quantenelektronischen Bauteilen (z.B. Resonant Tunneling Diodes) sehr wertvoll - die Computersimulation kann die Kosten für den Aufbau eines Experimentalapparats oder den Bau von Prototypen signifikant verringern. Das Programmpaket wird für moderne "Supercomputer" (Parallelrechner) adaptiert werden, obwohl angemerkt sei, daß nur die Hälfte des Fortschritts in Computersimulationen auf bessere Computer zurückzuführen ist, und die andere Hälfte von besserer Modellierung und besseren numerischen Algorithmen stammt. Ein paar zusätzliche junge angewandte Mathematiker zu beschäftigen ist wesentlich kosteneffektiver als das Anschaffen des besten Supercomputers.

Das LODIQUAS Projekt befasste sich mit der mathematischen Modellierung, Analysis und numerischen Simulation von stationären und zeitabhängigen Nichtlinearen Schrödingergleichungen für quantenmechanische Systeme, die in einer oder mehreren Raumdimensionen eingegrenzt sind. Solche Systeme, wie das 2DEG (2-dimensionales Elektronengas) oder 1D BEC (ein-dimensionales Bose-Einstein Kondensat) sind sowohl vom theoretischen, mathematischen Standpunkt aus interessant als auch für Anwendungen in Quantentechnologie wie etwa Quanten-Halbleiter oder Atom-Chips. Die Dimensionsreduzierung entsteht in Modellen in denen es (z. B. sphärische) Symmetrie oder translationelle Invarianz in einer oder zwei Raundimensionen gibt, oder in Modellen, in welchen Quantenteilchen in einer oder zwei (Quantum wires) Raumdimensionen eingeschlossen sind, beschrieben durch ein einschliessendes Potential mit einem kleinen Parameter, d.h. das Potential eines harmonischen Oszillators. Der Grenzübergang in dem kleinen Parameter liefert das korrekte asymptotische Modell. Französische und österreichische angewandte Mathematiker in Rennes, Paris, Wien und Innsbruck haben sowohl an der rigorosen Herleitung und mathematischen Analysis solcher niedrig-dimensionalen Modelle als auch an numerischen Methoden und Simulationen für fermionische und bosonische Systeme zusammengearbeitet. Das Projekt ergab 31 Veröffentlichungen in begutachteten Zeitschriften, darunter 13 gemeinsame Papers zwischen österreichischen und französischen Partnern. Unter den wesentlichen Ergebnissen ist ein gemeinsames Paper in SIAM J. Appl. Math. zu erwähnen, in welchem die Dimensionsreduzierung von 3-d-Schrödinger mit Coulomb-Wechselwirkung für 2-d-Modelle und ein 1-d-Modell systematisch durchgeführt wird, mit numerischen Simulationen, die den Unterschied zeigen zwischen dem 2-d Modell mit Translationsinvarianz, das die 2-d Poissongleichung ergibt, und dem 2-d Modell mit Einschliessung, das das Wurzel aus Laplace-Modell ergibt mit Faltung mit 1/x. In einer angeren gemeinschaftlichen Arbeit wurde die Stroboscopic Averaging Method (SAM) entwickelt als ein Werkzeug, um die NLS im Hoch-Ozsillatorischen, d.h. semi-klassichen Bereich zu lösen. Eine weitere gemeinschaftliche Arbeit behandelt die Lösung einer hoch-oszillatorischen Schrödinger-Gleichung durch die Multi-Revolution-Komposition für Time-Splitting Verfahren. Unter den numerischen Verfahren, die in dem Projekt entwickelt wruden, sind mehrere gemeiname Papers zu erwähnen über Non-unifort FFT - Methoden (NUFFT) für numerik niedrig-dimensionaler Gleichungen vom NLS-Typ, insbesondere für Schrödinger-Poisson, nichtlokale Gross-Pitaevskii-Gleichung, Davey-Stewartson und den Fall mit vektorwertigen Potentialen sowie dipolare BEC-Modelle. NUFFT wurde auch mit Gauss'schen Summenapproximtionen für nichtlokale Potentiale verwendet, wodurch die Genauigkeit/Effektivität der Methode weiter gesteigert wird. Das Budget wurde hauptsächlich zur (Ko-)Finanzierung von 3 Postdocs und einer PhD-Thesis in Co-tutelle zwischen Univ. Rennes und Univ. Wien verwendet, und zur (Ko-)Finanzierung von 3 großen Projektmeetings und 4 Workshops.