Kombinatorische nicht-eindeutige Faktorisierungstheorie

Jedes von Null verschiedene und nicht invertierbare Element eines Ganzheitsringes eines algebraischen Zahlkörpers ist das Produkt endlich vieler irreduzibler Elemente, jedoch ist diese Faktorisierung im Allgemeinen nicht eindeutig. Es ist wohlbekannt, dass in einem Ganzheitsring Faktorisierungen in Irreduzible eindeutig sind genau dann, wenn die Klassengruppe trivial ist. Ein klassisches Ziel der nicht-eindeutigen Faktorisierungstheorie ist es die unterschiedlichen Phänomene von Uneindeutigkeit, die in diesem Kontext auftreten, zu verstehen. Probleme dieser Art werden aber auch für andere Bereiche und Monoide behandelt. Folgende Herangehensweise an solche Probleme hat sich bewährt: Zuerst untersucht man eine Klasse von Bereichen oder Monoiden unter algebraischen Gesichtspunkten, insbesondere ihre Idealtheorie. Unter Verwendung des so gewonnen Wissens konstruiert man Hilfsmonoide und eine Methode, um die Fragen über Faktorisierungen aus den ursprünglichen Bereichen und Monoiden in die Hilfsmonoide zu übertragen, ein sogenanntes Transferprinzip. Dann untersucht man die Fragen in den Hilfsmonoiden, und die in diesen erzielten Resultate können dann wieder zurückübertragen werden. Probleme der ersten Art werden als algebraische und solche der zweiten Art als kombinatorische bezeichnet. In diesem Projekt werden Probleme behandelt, die in obigem Sinn kombinatorisch sind. Für Ganzheitsringe, und allgemeiner für Krullmonoide, ist bekannt, wie man (die meisten) Faktorisierungsprobleme in Hilfsmonoide überträgt. Die sich so ergebenen Probleme sind Fragen über Nullsummenfolgen über die Klassengruppen. Das Hauptaugenmerk wird auf Fragestellungen gelegt, die mit der Struktur von Längenmengen von Elementen von Krullmonoiden mit endlicher Klassngruppe zusammenhängen. Die Längenmenge eines Elements ist die Menge aller nichtnegativen ganzen Zahlen n für die gilt, dass das Element Produkt von n Irreduziblen ist. Es ist bekannt, dass in diesem Fall Längenmengen strukturiert sind. Genauer gesagt bestehen sie bis auf gewisse kontrollierbare Ausnahmen aus einer gewissen Menge, genannt Periode, die sich wiederholt. Sie sind also verallgemeinerte arithmetische Progressionen. In diesem Projekt werden diese Perioden untersucht, sowie die damit eng verwandten Fragen nach der Struktur von Teilmengen der Klassengruppe, die Längenmengen mit vorgegebener minimaler Distanz oder triviale, sogenannte halbfaktorielle Mengen, liefern. Dazu werden unter anderem Resultate über summenfreie Teilmengen endlicher abelscher Gruppen und damit verwandte Resultate und Methoden verwendet.