Verallgemeinerte Funktionen und mehrfache Charakteristiken

Das letzte Jahrzehnt zeigte die dringende Notwendigkeit einer differential-algebraischen Theorie von verallgemeinerten Funktionen, die eine Vielzahl von Fragen zu Lösungen von linearen und nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen mit nicht glatten Koeffizienten und stark singulären Daten beantwortet hat. In diesen Fällen bietet die Distributionentheorie keinen allgemeinen Rahmen, in welchem Lösungen existieren. Einen alternativen Rahmen liefert die Theorie der Colombeau`schen Algebren. Wenn man die nicht glatten Koeffizienten und Daten als Elemente der Colombeau`schen Algebra betrachtet, so ist nunmehr die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung für viele Klassen von Differentialgleichungen nachgewiesen worden. Um die Regularität der Lösungen zu untersuchen, wurden im Besonderen mikrolokale Techniken in diesem Gebiet eingeführt sowie eine Theorie verallgemeinerter Pseudodifferentialoperatoren entwickelt, definiert durch Colombeau`sche Regularisierung von nicht glatten Symbolen. Eine Theorie verallgemeinerter Fourierintegraloperatoren in Colombeau`schen Algebren, in der sowohl, die Phasenfunktion als auch die Amplitude Colombeau`sche Objekte sind, wurde in der letzen Zeit initiiert. Aufbauend auf dieser vorbereitenden Arbeit über Fourierintegraloperatoren, wird sich das Projekt auf die Lösung von hyperbolischen Gleichungen und Systemen mit singulären Koeffizienten und Daten konzentrieren. Wir werden verallgemeinerte Fourierintegraloperatoren benutzen und durch eine vollständige Beschreibung der mikrolokalen Wirkung dieser Operatoren die mikrolokalen Eigenschaften der Lösung untersuchen. Der erste Teil des Projektes wird einem Begriff von verallgemeinerten streng hyperbolischen Pseudodifferentialsystemen gewidmet sein. Die Korrektheit des entsprechenden Cauchy-Problems wird durch eine verallgemeinerte Parametrix-Konstruktion gesichert werden. In anderen Worten werden wir die Colombeau`sche Lösung eines verallgemeinerten hyperbolischen Systems als Wirkung eines verallgemeinerten FIOs auf den Cauchy Daten beschreiben (modulo eines glatten Restterms). Diese Methode ist dem Beweis durch Energieabschätzungen, bis jetzt benutzt für hyperbolische Systeme partieller Differentialgleichungen im Colombeau`schen Gebiet, vorzuziehen, weil sie einen besseren Einblick in qualitative Eigenschaften liefert. Im Detail werden wir eine mikrolokale Untersuchung der Lösung vornehmen, und wir werden verallgemeinerte Hamilton`sche Flüsse und geeignete Wellenfrontmengen verwenden. Der zweite Teil des Projektes wird eine Colombeau`sche Zugang zu Systemen partieller Differentialgleichungen mit mehrfachen Charakteristiken und singularären Koeffizienten ausarbeiten. Durch eine Regualrizierungsverfahren werden wir unserer System in ein verallgemeinertes streng hyperbolisches System umgestalten. Unsere Methode wird sehr allgemeine Koeffizienten erlauben und verallgemeinerte FIO- Techniken für Systeme mit mehrfachen Charakteristiken entwerfen. Das ist eine erfolgsversprechende Idee, um die bekannten Schwierigkeiten mit klassischen Fouierintegraloperatoren und Systemen mit mehrfachen Charakteristiken zu überwinden.