Fefferman Konstruktionen und überbestimmte Systeme

Charles Fe?erman konstruierte 1976 eine natürliche konforme Struktur auf einem Bündel über einer CR Mannigfaltigkeit mit dem Ziel, die Geometrie der CR Mannigfaltigkeit durch die konforme Geometrie zu verstehen. Fe?ermans Konstruktion wurde seitdem intensiv studiert, und es zeigte sich, dass man sie im Rahmen der Theorie parabolischer Geometrien auf natürliche Weise verallgemeinern kann. Die Konstruktionen, die man dadurch erhält, stellen Verknüpfungen zwischen verschiedenartigen geometrischen Strukturen her, deren Gemeinsamkeit ihre äquivalente Beschreibung als parabolische Geometrie ist. Beispiele für solche Strukturen sind konforme Strukturen, CR Strukturen, projektive Strukturen, und auch gewisse Distributionen und Geometrien von Di?erentialgleichungen. Interessant sind diverse Fe?erman Konstruktionen insbesondere durch ihren Zusammenhang mit Holonomie Reduktionen von Cartan-Konnexionen und mit überbestimmten Systemen von partiellen Differentialgleichungen (etwa den konform invarianten Gleichungen für konforme Killingformen oder Twistorspinoren). Im Rahmen dieses Forschungsprojektes sollen Fe?erman Konstruktionen und die in diesem Zusammenhang relevanten überbestimmten Systeme studiert werden. Einerseits erwarte ich, Einblick in zahlreiche interessante Konstruktionen zwischen geometrischen Strukturen zu erhalten, die noch nicht im Bild der parabolischen Geometrien untersucht worden sind. Andererseits gibt es aktuelle Fragen zu bekannten Konstruktionen, denen ich gerne nachgehen möchte, zum Beispiel zu Nurowskis konformen Strukturen, die generischen Rang zwei Distributionen zugeordnet sind. Zu diesem Zweck ist ein Aufenthalt in Warschau vorgesehen. Dieser soll mir außerdem ermöglichen, in Zusammenarbeit mit Professor Pawel Nurowski Ideen für weitere Konstruktionen zu entwickeln. Die darau? olgende Untersuchung der Konstruktionen mit Methoden aus dem Studium geometrischer überbestimmter Systeme soll in Canberra unter der Leitung von Professor Michael Eastwood durchgeführt werden. Nach meiner Rückkehr ist ein intensiver Austausch mit Forschungsgruppen in Wien, Brünn und Prag geplant.

Im Zentrum des Forschungsprojektes stand die Untersuchung einer Klasse von geometrischen Strukturen mittels sogenannter Fefferman-Konstruktionen, welche unterschiedliche Typen von Geometrien innerhalb der untersuchten Klasse in Beziehung setzen. Es gelang, bisher unbekannte Verbindungen zwischen geometrischen Strukturen herzustellen und dadurch Geometrien mit speziellen Eigenschaften zu konstruieren.Die im Rahmen des Projektes untersuchten Geometrien sind zwar strukturell ähnlich, haben aber unterschiedliche Erscheinungsbilder und treten in verschiedensten Zusammenhängen in der Mathematik und Physik auf. Die Geometrie von (2, 3, 5)-Distributionen manifestiert sich durch gewisse mechanische Systeme, etwa zwei Kugeln, die aufeinander rollen ohne zu rutschen oder zu drehen. Projektive und konforme Strukturen sind in der mathematischen Physik von Bedeutung. Für alle untersuchten Geometrien gilt, dass sie von einem rein mathematischen Standpunkt her interessant sind. So bilden etwa die Symmetrien der symmetrischsten aller (2, 3, 5)-Distributionen ein berühmtes algebraisches Objekt, welches als exzeptionelle Lie Gruppe G2 bekannt ist. Fefferman-Konstruktionen wurden als Mittel zur Untersuchung dieser Strukturen gewählt, da sie (a) typischerweise zu interessanten Beispielen mit speziellen Eigenschaften führen, und (b) ermöglichen, Eigenschaften einer Geometrie aus (bekannten) Eigenschaften einer anderen Geometrie herzuleiten. Die Eigenschaften, die in diesem Zusammenhang gemeint sind, können durch Systeme von überbestimmten Differentialgleichungen beschrieben werden. Sie umfassen die Existenz von Einstein Metriken in einer konformen Klasse sowie die Existenz von Symmetrien einer gegebenen geometrischen Struktur.Spezielle Projektergebnisse beinhalten einen Zusammenhang zwischen generischen Distributionen und Twistor Spinoren, eine Fefferman-Konstruktion von Lie Kontaktstrukturen mit G2 -Holonomie, einen Zusammenhang zwischen Nurowski konformen Strukturen, (para-) Sasaki Einstein Metriken und Fefferman konformen Strukturen am Rand, eine Charakterisierung von konformen Strukturen, die von projektiven Strukturen induziert sind.Da viele der untersuchten Geometrien in der Physik von Bedeutung sind, waren Anwendungen der Projektergebnisse in der mathematischen Physik möglich und interessant.