Probabilistische Methoden in Analysis und Anwendungen

Die Theorie der Gleichverteilung modulo 1 entwickelte sich im Zusammenhang mit Problemen aus der Physik und Astronomie. Vereinfacht gesagt heißt eine unendliche Folge reeller Zahlen gleichverteilt modulo 1 falls die relative Anzahl an Folgengliedern, die sich in einem bestimmten Teilintervall von [0,1] befinden, gegen die Länge dieses Teilintervalls konvergiert. Dabei kann die Länge des Teilintervalls als Erwartungswert der relativen Anzahl an Folgengliedern in dem Teilintervall betrachtet werden; eine modulo 1 gleichverteilte Folge ist dann, informell gesprochen, eine Folge die "zufälliges" Verhalten zeigt. Um die Geschwindigkeit der Konvergenz, die bei verschiedenen Folgen signifikant variieren kann, zu messen, wurde der Begriff der Diskrepanz eingeführt, der ein Maß für die "Qualität" der Gleichverteilung einer Folge bietet. Aus wahrscheinlichkeitstheoretischer Sicht entspricht die Diskrepanz der Kolmogorow-Smirnow-Statistik, die die empirische Verteilung der ersten N Elemente eine Folge mit der zugrundeliegenden Verteilung vergleicht. 1975 bewies Philipp die Erdös-Gl- Vermutung, dass die Diskrepanz lakunärer Folgen ein (beschränktes) Gesetz des iterierten Logarithmus erfüllt. Das entspricht dem Chung-Smirnow-Gesetz des iterierten Logarithmus, und belegt die Heuristik dass sich lakunäre Funktionenfolgen ähnlich wie Folgen unabhängiger Zufallsvariablen verhalten. Vor wenigen Jahren entwickelte Fukuyama eine völlig neue Methode, um eine exakte Version von Philipp`s Resultat zu beweisen. Dadurch ist es plötzlich in Reichweite gelangt, einige der wichtigsten Probleme in dieser Theorie zu lösen. Die Definition der Diskrepanz lässt sich auf natürliche Weise auf den Fall mehrdimensionaler Folgen verallgemeinern. Die Koksma-Hlawka-Ungleichung besagt, dass sich die Differenz zwischen dem arithmetischen Mittel von Funktionsauswertungen an bestimmten Punkten und dem Integral einer d-dimensionalen Funktion durch die Diskrepanz der Punktmenge und die Variation der Funktion beschränken lässt, und bildet damit die Grundlage der Quasi-Monte Carlo-Methode zur numerischen Integration. In der Vergangenheit wurden vor allem Punktfolgen untersucht, die für eine sehr große Anzahl an Punkten (im Vergleich zur Dimension) eine niedrige Diskrepanz aufweisen. In letzter Zeit wandelte sich dieses Bild, und die Forschung konzentrierte sich vermehrt auf Mengen von wenigen Punkten (im Vergleich zur Dimension), die über geringe Diskrepanz verfügen. In diesem Fall haben klassische deterministische Methoden keinen Erfolg gezeigt, und es ist notwendig, probabilistische Methoden zu verwenden. Insbesondere die Verwendung von gemischten bzw. schwach abhängigen Konstruktionen könnte hier zielführend sein. Der Antragsteller plant, das erste Jahr seines Schrödinger-Stipendiums bei IAN SLOAN an der University of New South Wales in Sydney, Australien zu verbringen. In diesem Jahr soll vor allem die Existenz von Punktmengen mit geringer Diskrepanz im Fall von "wenigen" Punkten (im Vergleich zur Dimension) untersucht werden. Das zweite Jahr möchte er bei KATUSI FUKUYAMA an der Universität Kobe in Japan verbringen. Dort wird er sich vor allem Problemen im Bereich der metrischen Diskrepanztheorie und der Theorie lakunärer Funktionensysteme widmen. Das dritte Jahr (die Rückkehrphase) möchte er bei GERHARD LARCHER an der Universität Linz verbringen, und dort die (theoretischen) Resultate der ersten beide Jahre für Probleme der angewandten Mathematik algorithmisch umsetzen. Im letzten Jahr des Schrödinger-Stipendiums möchte er außerdem seine Habilitationsschrift verfassen.

Mein Schrödinger-Projekt umfasste insgesamt drei Jahre, davon zwei Auslandsjahre und ein Jahr der sogenannten "Rückkehrphase" in Österreich. Die beiden Auslandsjahre verbrachte ich an der University of New South Wales in Sydney, Australien, und an der Universität Kobe in Japan, das Rückkehrjahr an der Johannes Kepler Universität Linz.Im ersten Jahr, in Sydney, arbeitete ich in der Forschungsgruppe von Ian Sloan, einem der weltweit führenden Wissenschaftler im Bereich der numerischen Mathematik, also in jenem Zweig der Mathematik, der sich mit der annäherungsweisen Lösung mathematischer Probleme am Computer beschäftigt. Diese Arbeitsgruppe umfasst viele hervorragende Wissenschaftler, und es war aufregend und sehr lehrreich in so einer aktiven und international so gut vernetzten Forschungsgruppe zu arbeiten. Insbesondere mit Josef Dick habe ich in diesem Jahr eine intensive Kooperation begonnen, die immer noch andauernd und sich mit der Frage beschäftigt, wie Probleme aus der Finanz und Versicherungsmathematik realitätsnaher und akkurater behandelt werden können. Das direkte Verfahren, das wir dafür entwickelt haben, ist neu, und wurde bereits von anderen Forschern aufgegriffen.Das zweite Jahr verbrachte ich an der Universität Kobe in Japan zur intensiven gemeinsamen Forschungsarbeit mit Katusi Fukuyama, einem Fachmann für bestimmte Themen aus dem Bereich der Fourier-Anaylsis. In diesem Jahr nahm ich auch am Internationalen Mathematikerkongress teil, der größten Konferenz im Bereich der Mathematik, die alle vier Jahre stattfindet. Im dritten Jahr des Stipendiums an der Universität Linz arbeitete ich gemeinsam mit Gerhard Larcher und den anderen Wissenschaftlern am Institut für Finanzmathematik und angewandte Zahlentheorie an Themen im Bereich der Pseudo-Zufallszahlen. Vereinfacht gesagt geht es darum, an beobachteten Zahlenfolgen (z.B. Folgen von Messdaten) zu quantifizieren wie weit diese Zahlenfolgen "zufälliges" Verhalten aufweisen, oder ob es vielmehr eine (nicht-zufällige) zugrunde liegende Struktur gibt.Parallel zu diesen Forschungstätigkeiten entspann sich eine intensive (per e-mail geführte) Zusammenarbeit mit Kristian Seip in Trondheim und Michel Weber in Straßburg über die berühmt-berüchtigte Riemannsche zeta-Funktion, die in der Theorie der Primzahlen eine zentrale Rolle spielt.Im Laufe der drei Jahre meines Schrodinger-Stipendiums entstanden mehr als 20 wissenschaftliche Arbeiten, die in internationalen Fachzeitschriften publiziert wurden. Weiters verfasste ich in diesem Zeitraum meine Habilitationsschrift, mit der ich im Oktober 2014 an der TU Graz habilitiert wurde. Ich hielt mehr als 20 wissenschaftliche Fachvortrage, unter anderem in Südkorea, England, den USA, China und Armenien. Außerdem erhielt ich in diesem Zeitraum mehrere der höchsten Auszeichnungen für junge Forscher in Österreich: darunter den FWF START-Preis, den Hlawka-Preis der Österreichischen Akademie der Wissenschaften, den Förderungspreis der Österreichischen Mathematischen Gesellschaft und den Kardinal-Innitzer-Förderungspreis.