Singularitäten freier Divisoren: Algebra und Geometrie

Singularitätentheorie ist ein Teilgebiet der algebraischen Geometrie, das sich dem Verständnis der Geometrie von Nullstellenmengen algebraischer Gleichungen in der Nähe von singulären Punkten, d.h., Punkten in denen die Mengen keine Mannigfaltigkeiten sind, widmet. Freie Divisoren sind "maximal" singuläre Hyperflächen in komplexen Mannigfaltigkeiten, was hier bedeutet, dass sie nicht normal und ihre singulären Orte Cohen-Macaulay sind. Das Ziel dieses Projekts ist die Untersuchung von Normalisierung, (nicht-kommutativer) Desingularisierung und Singularitäteninvarianten algebraischer (analytischer) Varietäten, wobei das Hauptaugenmerk auf freien Divisoren in komplexen Mannigfaltikeiten liegt. Darüber hinaus werden auch Charakteristik p-Methoden studiert. Die Untersuchung von Singularitäten freier Divisoren ist grundlegend für das Verständnis von Singularitäten allgemeinerer analytischer Varietäten. Die Hauptziele dieser Arbeit sind: die Analyse und Verbesserung des Normalisierungsprozesses von freien (und allgemeineren) Divisoren (Verbesserung des Grauert-Remmert Normalisierungsalgorithmus, implementiert z.B. in SINGULAR), eine natürliche Methode zur Desingularisierung von freien Divisoren und ein Maß für die Distanz eines beliebigen freien Divisors zu einem Divisor mit normalen Kreuzungen zu finden (Untersuchung von Explosionen freier Divisoren, kanonischer Desingularisierung im Falle von Diskriminanten), das Studium der Frage nach der Existenz einer nicht-kommutativen Desingularisierung eines freien Divisors, die Untersuchung von Singularitäteninvarianten, insbesondere um normale Kreuzungsdivisoren zu charakterisieren (Torsionsdifferentiale, Bernstein-Sato Polynome), positive Charakteristik Methoden (Definition von freien Divisoren über Körpern mit Primcharakteristik, Singularitäteninvarianten), als Nebenprodukt, die Visualisierung von Desingularisierungen und Normalisierungen freier Flächen.

Algebraische Varietäten sind geometrische Objekte, die einen Hauptforschungsgegenstand im Bereich der algebraischen Geometrie darstellen. Eine Singularität einer algebraischen Varietät (=Nullstellenmenge von polynomialen Gleichungen) ist ein Punkt, in dem die Varietät nicht glatt" ist, d.h., sie hat dort etwa Selbstschnitte oder Spitzen. Ein freier Divisor ist eine Hyperfläche in einer komplexen Mannigfaltigkeit, die \maximal" singulär ist, sie ist nämlich nicht normal und der singuläre Ort hat die Struktur eines maximalen Cohen{Macaulay Moduls.Das Hauptziel dieses Erwin-Schrödinger Stipendiums war es, Singularitäten von freien Divisoren und allgemeinerer nicht-normaler algebraischer Varietäten zu studieren und zu verstehen.Insbesondere widmete sich dieses Projekt den Fragen nach (nicht-kommutativen) Auflösungen von Singularitäten (NCRs) und Charakterisierungen von Singularitäten freier Divisoren. NCRs sind ein junges Forschungsgebiet, insbesondere ist man daran interessiert, NCRs zu verstehen und zu konstruieren. Diese Auflösungen tauchen in verschiedenen Gebieten auf, z. B. in der Darstellungstheorie, der mathematischen Physik, und der algebraischen Geometrie.In diesem Projekt wurden nicht-kommutative Desingularisierungen für nicht-normale Ringe definiert und eine neue homologische Invariante wurde eingeführt und untersucht, das globale Spektrum einer Singularität. Wir konnten zeigen, dass einfache Flächensingularitäten durch ihr globales Spektrum charakterisiert werden und konnten weiters globale Spektra von einigen Kurven und Flächen mit darstellungstheoretischen Methoden bestimmen. Eine andere Forschungsrichtung war das Studium der McKay Korrespondenz für endliche komplexe Spiegelungsgruppen. Insbesondere erhielten wir NCRs der Diskriminanten der Spiegelungsgruppen. Diese Diskriminanten sind freie Divisoren.Im Forschungsziel Charakterisierungen von Singularitäten erforschten wir eine Verallgemeinerung von transversalen Schnitten für singuläre Varietäten, sogenannte gespreizte Schnitte. Wir konnten einige vermutete Formeln für charakteristische Klassen für diese Singularitäten belegen. Weiters waren wir erfolgreich, andere Forscher in diese Forschungsgebiete zu involvieren: zusammen mit J. Bell, R.-O. Buchweitz und C. Ingalls organisierten wir einen Workshop am Fields Institut in Toronto, in dem es um Themen ging, die in diesem Projekt behandelt wurden, nämlich Beziehungen zwischen kommutativer Algebra, nicht-kommutativer Geometrie und Darstellungstheorie.