Zufall versus Determinismus: Irrfahrten und Rotor Wanderungen

Ziel des Projekts ist es, verschiedene Teilgebiete der Mathematik zusammenzubringen und Synergieeffekte zu erzielen. Wir wollen dabei das Verständnis des Zusammenspiels von Struktureigenschaften von Graphen und dem Verhalten zweier Prozesse - einem Zufallsprozess sowie seinem deterministischen Gegenstück - auf diesen Graphen vertiefen. Die erwähnten Prozesse sind Irrfahrten und Rotor Wanderungen (auch Rotor-Router Wanderungen genannt). In vielen Belangen gibt es erstaunliche Übereinstimmungen zwischen dem Verhalten von Rotor-Router Wanderungen und dem erwarteten Verhalten von Irrfahrten. Allerdings gibt es auch starke Unterschiede im Verhalten beider Prozesse. Die in diesem Zusammenhangrelevanten Teilgebiete der Mathematiksind Wahrscheinlichkeitstheorie, Strukturtheorie (Algebra, Geometrie), Graphentheorie und Kombinatorik. Außerdem bestehen Anknüpfungspunkte zur statistischen Physik. Im Folgenden geben wir eine Übersicht über die wichtigsten Fragestellungen, die wir studieren möchten. Verzweigender Rotor-Router Prozess. Dies ist ein neues Modell, das wir im Rahmen dieses Projekts einführen, und es entspricht einer zum Teil de-randomisierten Version einer verzweigenden Irrfahrt. Verzweigende Irrfahrten kann man sich so vorstellen: Ein Irrfahrer bewegt sich zufällig auf einem Graphen und bekommt in jeden Knoten, den er besucht, eine zufällige Anzahl von Nachkommen. Diese Nachkommen bewegen sich nun zufällig, unabhängig von dem restlichen Prozess und bekommen ihrerseits Nachfahren usw. Im vorgestellten Verzweigenden Rotor-Router Prozess, sollten die Irrfahrten durch Rotor-Router Wanderungen ersetzt werden. Es sollen Kriterien für das lokale und globale Überleben der Population entwickelt werden. Zusätzlich wollen wir untersuchen, wie der zugrunde liegende Graph das Verhalten des Prozesses beeinflusst. Außerdem planen wir die Entwicklung der Grundlagen der Theorie stochastischer Abelscher Netzwerke (in Anlehnung an die von Bond und Levine entwickelte Theorie deterministischer Abelscher Netzwerke). Das Modell der BRRW ist ein Beispiel eines solchen stochastischen Abelschen Netzwerkes. Interne Aggregationsmodelle auf fraktalen Graphen. Wir untersuchen die folgenden Wachstumsprozesse: Internal Diffusion Limited Aggregation (IDLA) und Rotor-Router Aggregation. In IDLA, vollführen Teilchen Irrfahrten auf einem Graphen, bis sie einen bisher unbesetzten Knoten erreichen, an dem sie sich festsetzen. In Rotor-Router Aggregation werden die Irrfahrten durch Rotor-Router Wanderungen ersetzt. Das Hauptinteresse gilt dem Wachstum der Mengen von besetzten Knoten. In dem aktuellen Projekt möchten wir diese beiden Wachstumsmodelle auf fraktalen Graphen untersuchen, wo es gestützt auf Simulationsergebnissen zu einem atypischem Verhalten dieser Modelle kommt, das bisher auf anderen Zustandsräumen noch nicht beobachtet wurde.

Das Projekt mit dem Titel Zufall versus Determinismus: Irrfahrten und Rotor Wanderungen beschäftigt sich mit dem Wechselspiel zwischen dem Verhalten von Irrfahrten und von Rotor Wanderungen auf unendlichen Zustandsraumen (zum Beispiel Graphen und Gruppen). Eine Rotor Wanderung auf einem Graph ist ein deterministischer Prozess, bei dem jeder Knoten mit einem Rotor, der auf einen der Nachbarn des Knoten zeigt, versehen ist. Ein Teilchen das sich auf einem Knoten befindet, modifiziert den Rotor in einer festgelegten Weise, und danach bewegt es sich zu dem Nachbarn auf den der Rotor jetzt verweist. Eine Irrfahrt auf einem Graphen ist ein zufälliger Prozess, beim dem sich ein Teilchen zufällig, nach Maßgabe einer gegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung, durch den Graphen bewegt. Obwohl wir einen deterministischen und einen zufälligen Prozess betrachten, stellt sich heraus dass beide Prozesse viele Eigenschaften gemeinsam haben. Diese Verbindung stellt die Essenz des Projektes dar. Wie vorgeschlagen, habe ich wahrscheinlichkeitstheoretische Methoden verwendet um Eigenschaften von Rotor Wanderungen zu beweisen, umgekehrt wurden kombinatorische Methoden verwendet um Eigenschaften von Irrfahrten zu beweisen. Diese Verbindung der beiden Prozesse wurde Augenfälliger und die Abhängigkeit von den unendlichen Zustandsraumen auf denen sich die Prozesse abspielen ist ein weiterer wichtiger Punkt der in diesem Projekt untersucht wurde.Eines der ersten Probleme an denen ich während meines Aufenthalts an der Cornell Universität gearbeitet habe, war die Etablierung eines neuen Prozesses, p-Rotor Wanderung genannt, auf den ganzen Zahlen. Diese Wanderungen hängen von einem Parameter p ab und interpolieren zwischen Irrfahrten und Rotor Wanderungen.Für diese Prozesse bewiesen wir einen Skalierungs Grenzwert (Invarianzprinzip) und weitere Eigenschaften wie: ein Gesetz der großen Zahlen und die Rekurrenz/Transienz. Für spezielle Werte von p erhalten wir bereits bekannte Resultate über Irrfahrten und klassische Rotor Wanderungen. Dieses Model erlaubt diverse Verallgemeinerungen, und sein Studium in höherdimensionalen Gittern erscheint sehr schwierig.Ein weiteres wichtiges Projekt bei dem wir, gemeinsam mit Joe Chen (Colgate University), Wilfried Huss (Technische Universität Graph) und Alexander Teplyaev (University of Connecticut), interessante Ergebnisse erzielen konnten, ist die Untersuchung sogenannter interner Aggregations Modelle (wie zum Beispiel Internal Diffusion Limited Aggregation kurz IDLA und dem Divisible Sandpile) auf Frakalen. IDLA ist ein probabilistischer Wachstums Prozess auf einem Graphen, bei dem Teilchen von einem fixen Ort aus gestartet werden. Diese Teilchen vollführen eine Irrfahrt bis sie einen Knoten der unbesetzt ist finden. Dort stoppen sie. Auf diese Weise wächst ein zufälliger Cluster (genannt IDLA Cluster) von besetzten Knoten. Im divisible Sandpile auf einem Graphen, eine Masseverteilung auf dem Graphen verändert sich, indem zu jedem Zeitpunkt die Masse eines Knotens die ein bestimmtes Limit überschreitet und die Nachbarn des Knotens verteilt wird. Dieser Prozess terminiert niemals, aber wir können einen Grenzwert betrachten. Die Menge von Knoten auf denen diese Grenzmasse nicht Null ist, nennen wir Divisible Sandpile Cluster. Sowohl für IDLA und auch dem Divisible Sandpile auf dem Sierpinski Dreiecksgraphen beweisen wir Gestalt Theoreme, das heißt wir beschreiben explizit die Form der IDLA- als auch Divisible Sandpile-Cluster. Diese Grenzform ist dieselbe für beide Prozesse, obwohl der Divisible Sandpile ein deterministisches und IDLA ein stochastisches Modell sind. Eine natürliche Fortsetzung diese Arbeit wäre die Untersuchung dieser Wachstumsmodelle auf anderen Fraktalen Graphen. Diese Fragestellungen werden in sind derzeit laufenden Projekten untersucht.