Nicht-eindeutige Faktorisierung in nichtkommutativen Ringen

Bereits aus der Schule ist bekannt, dass sich jede ganze Zahl in eindeutiger Weise als Produkt von Primzahlen (und einem Vorzeichen) schreiben lässt. Diese Darstellung zeichnet insbesondere aus, dass sich die Primzahlen nicht weiter als Produkte kleinerer Faktoren schreiben lassen, sie also Atome sind. In der Mathematik stößt man auf eine Vielzahl anderer Objekte in denen man nach den gewöhnlichen Rechenregeln multiplizieren und addieren kann. In der Algebra bezeichnet man ein derartiges Objekt als Ring. In vielen dieser Ringe ist es wieder möglich, jedes Element als Produkt von Atomen zu schreiben. Meist ist diese Darstellung aber weit davon entfernt eindeutig zu sein. Üblicherweise besitzt ein Element sogar Darstellungen (Faktorisierungen) unterschiedlicher Längen. In der Faktorisierungstheorie versucht man dieses Verhalten qualitativ und quantitativ zu studieren. Seinen Ursprung hat dieses Teilgebiet der Algebra und Zahlentheorie im Studium der Faktorisierungen algebraischer Zahlen. Inzwischen ist man aber dazu übergegangen häufig viel allgemeinere Ringe zu betrachten. Zumeist handelte es sich dabei bisher um kommutative Ringe, das heißt, Ringe bei denen es bei der Multiplikation nicht auf die Reihenfolge der Faktoren ankommt. Erst vor wenigen Jahren begann man derartige Fragestellungen auch in nichtkommutativen Ringen, das heißt, Ringen in denen die Ordnung der Multiplikation sehr wohl eine Rolle spielt, zu studieren. In diesem Bereich gibt es nach wie vor noch viele grundlegende offene Fragen, die im vorliegenden Projekt Nicht-eindeutige Faktorisierung in nichtkommutativen Ringen studiert werden sollen. Zum Beispiel erwartet man sich, dass in einem ,,gutmütigen Ring jedes Element höchstens endlich viele verschiedene Faktorisierungslängen besitzt. Ein Ziel des vorliegenden Projekts ist es, einfach anzuwendende hinreichende Bedingungen für diese Eigenschaft zu finden, wie man sie für kommutative Ringe bereits kennt. Als Elastizität eines Elements bezeichnet man das Verhältnis zwischen längster und kürzester Faktorisierungslänge. Die Elastizität ist ein Maß für die Nichteindeutigkeit der auftretenden Faktorisierungen: Umso größer die Elastizität, desto weiter entfernt ist das Element davon eine eindeutige Faktorisierung zu besitzen. Ein weiteres Ziel des Projekts besteht darin, zu bestimmen wie groß die Elastizität in gewissen Ringen werden kann, die von klassischem Interesse in der nichtkommutativen Ringtheorie sind. Dazuzähleninsbesondere Quaternionenordnungen,bestimmte Ringe von Differentialoperatoren (Weyl-Algebren) und quantisierte Koordinatenringe der Ebene bzw. des Torus.

In diesem Projekt wurde die Verbindung zwischen arithmetischen und algebraischen Eigenschaften in, vorwiegend nicht-kommutativen, Ringen untersucht. Das Projekt wurde in internationaler Zusammenarbeit mit Kollegen am Dartmouth College (USA) und der University of Waterloo (Kanada) durchgeführt. Die erste untersuchte Fragestellung betrifft die Faktorisierungstheorie in nicht-kommutativen Ringen. Bereits aus der Schule ist bekannt, dass sich jede ganze Zahl in eindeutiger Weise als Produkt von Primzahlen (und einem Vorzeichen) schreiben lässt. Diese Darstellung zeichnet insbesondere aus, dass sich die Primzahlen nicht weiter als Produkte kleinerer Faktoren schreiben lassen, sie also Atome sind. In der Mathematik stößt man auf eine Vielzahl anderer Objekte in denen man nach den gewöhnlichen Rechenregeln multiplizieren und addieren kann. In der Algebra bezeichnet man ein derartiges Objekt als Ring. In vielen dieser Ringe ist es wieder möglich, jedes Element als Produkt von Atomen zu schreiben. Meist ist diese Darstellung aber weit davon entfernt eindeutig zu sein. Üblicherweise besitzt ein Element sogar Darstellungen (Faktorisierungen) unterschiedlicher Längen. In diesem Projekt wurde die Hermite-Eigenschaft von Quaternionenordnungen, einer Art von nicht-kommutativen Ringen, klassifiziert. Diese algebraische (modul-theoretische) Eigenschaft charakterisiert eine Dichotomie zwischen zwei völlig verschiedenen arithmetischen Welten: in einem Fall ist die Faktorisierungstheorie völlig "zahm", alle arithmetischen Invarianten sind endlich und können durch klassische Techniken beschrieben werden. Im anderen Fall sind die arithmetischen Invarianten unendlich. Zusätzlich wurde die Faktorisierungstheorie von azyklischen Cluster-Algebren völlig beschrieben. Cluster-Algebren sind eine Klasse von Ringen die in den letzten ca. zwanzig Jahren intensiv studiert wurden, da sie eine Vielzahl von Verbindungen zur Kombinatorik, der Darstellungstheorie und anderen mathematischen Teilbereichen aufweisen. Ein zweiter Schwerpunkt bestand in der Untersuchung (nicht-kommutativer) rationaler Potenzreihen, insbesondere der Verbindung zwischen arithmetischen Eigenschaften ihrer Koeffizientenfolgen und struktureller Zerlegungen solcher Reihen. Wir konnten zeigen, dass rationale Potenzreihen (mit Koeffizienten in den rationalen Zahlen) eine besonders einfache Struktur aufweisen wenn es nur endlich viele Primzahlen gibt, die die Koeffizienten teilen. Dies erweitert ein Resultat Plyas über rationale Potenzreihen in nur einer Unbestimmten auf mehrere Unbestimmte und beweist eine 40 Jahre alte Vermutung. Rationale Potenzreihen spielen auch in der theoretischen Informatik eine Rolle, weil sie das Verhalten gewichteter endlicher Automaten beschreiben. Unser Resultat charakterisiert derartige gewichtete Automaten von besonders einfacher Struktur.