Eine "Weltkonstante" in der Zeit-Frequenz Analyse

Das Projekt, geleitet von Markus Faulhuber, behandelt folgende Fragestellungen. Der erste Punkt befasst sich mit einer Vermutung von Strohmer und Beaver aus dem Jahr 2003 und ist in der Zeit-Frequenz Analyse angesiedelt. Es geht um die Frage nach einer optimalen Sampling Strategie für Gabor Frames durch Lokalisierung mittels Gauß Funktion. Das Konzept der Gabor Analyse mit Gauß Funktion soll am folgenden Beispiel illustriert werden. Ein akustisches Signal zeichnet sich durch eine zeitliche Entwicklung und eine Verteilung über das Frequenzspektrum aus. Wir wollen nun einen Zusammenhang zwischen dem zeitlichen Ablauf und der Änderung der Frequenz der Schallwellen herstellen, aus welchen sich das Signal zusammensetzt. Dies führt zu einer zwei-dimensionalen Darstellung des Signals in der sogenannten Zeit-Frequenz Ebene, für welche oft ein Notenblatt als Metapher verwendet wird. Auf Grund der klassischen Unschärferelation, welche in der gleichen Art und Weise auch in der Quantenmechanik auftaucht, ist es zu einem bestimmten Zeitpunkt nicht exakt möglich zu bestimmen, welche Frequenzen die überlagerten Schallwellen aufweisen. Vielmehr können wir mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit feststellen ob bestimmte Frequenzbänder über bestimmte Zeitintervalle aktiv sind. Um dies herauszufinden, wird die Gauß Funktion verwendet um sowohl Frequenzbänder als auch Zeitintervalle zu lokalisieren. Dies erlaubt es, die Amplituden der Frequenzbänder zu gegebenen Zeitintervallen zu bestimmen. Da die zu lokalisierenden Zeit-Frequenz Abschnitte mittels der Gauß Funktion bestimmt werden, haben sie ein kreisförmiges Aussehen. Dies legt die Vermutung nahe, dass wir unsere Lokalisierungsmethode in einem hexagonalen Raster anordnen sollten, da dies der effektivste Weg ist, eine Ebene mit Kreisen auszufüllen. Der zweite Punkt stammt aus der geometrischen Funktionentheorie und behandelt ein Problem welches 1929 von Landau gestellt wurde. Die Antwort auf das Problem hat vermutlich Rademacher 1943 gefunden, dies ist jedoch unbewiesen. Die Aufgabe liegt darin, eine Kreisscheibe mit Radius 1 winkeltreu auf ein Objekt in der Ebene abzubilden, ähnlich wie es Kartographen mit einem Globus machen. Landau zeigte, dass es in diesem neuen Objekt stets Platz für eine Kreisscheibe eines bestimmten, maximalen Radius gibt. Man soll nun den geringsten Radius herausfinden, welchen solch eine Kreisscheibe haben kann. Rademacher konnte eine Pflasterung der Einheitskreisscheibe winkeltreu auf eine Pflasterung der Ebene abbilden. Die Pflasterung in der Ebene ist durch gleichseitige Dreiecke gegeben, deren Eckpunkte herausgenommen werden. Der größte Kreis ist somit der Umkreis solch eines Dreiecks und das entstandene Muster ist ein hexagonales Raster. Die Ziele des Projekts sind die Lösung der Strohmer und Beaver Vermutung, sowie zu zeigen, dass die Aufgabe, eine optimale Sampling Strategie für Gabor Frames mit Gauß Lokalisierung zu finden, was als angewandtes Problem verstanden werden darf, tief mit Landaus Problem verwurzelt ist, welches als sehr abstrakt einzustufen ist. Die Ergebnisse dieses Projekts werden das Verständnis über Gabor Frames und deren Verwendung in der digitalen Signalverarbeitung grundlegend erweitern und vertiefen.

Das Projekt "Eine 'Weltkonstante' in der Zeit-Frequenz Analyse", geleitet von Dr. Markus Faulhuber, stellte neue Zusammenhangen zwischen verschiedenen Gebieten der Mathematik her. Die Haupthypothese des Projekts konnte positiv beantwortet werden: Steht die Wahl einer optimalen Samplingstrategie fur bestimmte Filtersysteme in der digitalen Signalverarbeitung im Zusammenhang mit der Losung eines abstrakten, offenen Problems aus der geometrischen Funktionentheorie aus dem Jahr 1929? Ein Probleme war, eine optimale Samplingstrategie fur Gabor Systeme mit Gaussfilter zu finden. Gabor Systeme (oder Varianten davon) finden Anwendung in z.B. der medizinischen Signalverarbeitung und wurden fur den Nachweis der Gravitationswellen verwendet. Wir haben in diesem Fall bestimmte Bausteine, namlich Sinuswellen, zur Verfugung, welche wir mit der Gaussfunktion abdampfen. Mittels dieser Bausteine sollen wir nun effizient bestimmte Signale, wie z.B. Schallwellen, approximieren. Durch das Abdampfen mit der Gaussfunktion, deckt die Welle aber nur ein kleines Zeitfenster ab und wir mussen sie zeitlich standig verschieben, z.B. im Sekundentakt. Gleichzeitig hat eine Welle ein bestimmte Frequenz und wir mussen Wellen mit verschiedenen Frequenzen verwenden, z.B. 1 Hz, 2 Hz, usw. Ahnlich einem Notenblatt, kann man die zeitliche Verschiebung und die Änderung in der Frequenz in einem gemeinsamen Bild darstellen (Sekunden auf der x-Achse, Hz auf der y-Achse). Intuitiv sollte man nun die Abtastwerte so in der gezeichneten Ebene verteilen, dass sie moglichst wenig Einfluss aufeinander haben, aber auch keine zu großen Locher entstehen. Die Theorie der Packungs- und Deckungsprobleme sagt uns, dass ein hexagonales Muster beide Anforderungen optimal Es gibt keinen begrundeten Zweifel daran, dass ein hexagonales Samplingmuster die stabilsten Computeralgorithmen fur Signalverarbeitung mit Gabor Systemen liefert. Der mathematische Beweis fehlt jedoch. Im Projekt wurde gezeigt, dass obiges Problem tatsachlich stark mit Landaus Problem aus dem Jahr 1929 verknupft ist. Hierbei soll man eine Funktion finden, welche die hyperbolische Kreisscheibe in die Ebene abbildet. Die hyperbolische Kreisscheibe ist ein abstraktes, mathematisches Objekt, welches trotzallem Anwendungen findet. In der hyperbolischen Geometrie ist die Winkelsumme im Dreieck kleiner als 180 Grad. Die erwähnte Abbildung muss entweder Flachen oder Winkel verzerren, oder beides. Ein bekannteres Beispiel ist spharische Geometrie, wo die Winkelsumme größer als 180 Grad ist, welche wir auf dem Globus finden. Mochte man eine Karte der Erde in einem Atlas ansehen, so konnen Flachen und Winkel nicht gleichzeitig erhalten bleiben. Landaus Problem ist, vereinfacht, folgendes: Wenn das Maß der Verzerrung im Mittelpunkt festgehalten wird, wie groß ist dann die großte Scheibe die in jeder solchen Abbildung Platz findet? Mathematisch ist diese Problem eng mit dem Problem uber Samplingmuster verknupft und ihre vermuteten Losungen sind gleich. Man findet noch weitere, offene Probleme, z.B. die Kristallbildung in der Physik oder Chemie, welche sich mathematisch nicht von den behandelten Problemen unterscheiden. Die Untersuchung dieser Zusammenhange bietet Raum fur zukunftige Forschung.