Gravitation und Holographie

Betrachten wir eine Gravitationstheorie definiert auf einer Mannigfaltigkeit, deren Rand wir uns im Limes einer holographischen Komponente nähern. Damit die Theorie am Rand konsistent ist, ist es erforderlich, entsprechende Randbedingungen zu formulieren, welche unter Berücksichtigung von Symmetrien und Eichbedingungen eine asymptotische Symmetriegruppe definieren. Eine entsprechende auf dem Rand definierte Feldtheorie ist dann unter dieser Symmetriegruppe invariant. Das Korrespondenzprinzip besagt nun, dass physikalischen Größen, welche am Rand eines d dimensionalen Raums berechnet werden, äquivalent sind zu jenen, welche in der am Rand definierten d-1 dimensionalen Feldtheorie berechnet werden. Das als AdS/CFT Korrespondenz bekannte Prinzip verknüpft Größen, welche am Rand eines d dimensionalen sogenannten Anti de Sitter Raums definiert sind mit Größen, welche in einer konformen Feldtheorie am Rand in d-1 Dimensionen definiert sind. Obwohl die Dualität mathematisch bislang nicht bewiesen ist, belegen zahlreiche Beispiele, dass Berechnungen in der dualen Theorie tatsächlich zu korrekten Resultaten führen. Um die Dualität letztlich zu beweisen stellen Theorien mit einer hohen Anzahl an Symmetrien einen exzellenten Ausgangspunkt dar. In diesem Projekt wollen wir insbesondere conformal higher spin (CHS) Theorien untersuchen und physikalische Größen wie zum Beispiel Zustandssummen und Korrelationsfunktionen ausrechnen. CHS Theorien stellen eine Verallgemeinerung von konformen Theorien, wie zum Beispiel der Maxwell oder Weyl Theorie, dar. Durch die Anwendung des Korrespondenzprinzips erhofft man sich, Einblicke in die Eigenschaften von Theorien mit hohen Spinquantenzahlen und Stringtheorie zu erhalten. Insbesondere sollen Szenarien studiert werden, in denen der Rand durch einen flachen Raum gegeben ist, da unser Universum im Wesentlichen flach ist. Die Methoden, die zur Anwendungen gelangen, beinhalten die kovariante Formulierung einer CHS Wirkungen in gekrümmten Räumen,die sogenannte heat Kernel Methode zurEvaluierung der Zustandssumme sowie gruppentheoretischeAnsätzewelchedieentsprechenden Symmetriegruppen am Rand berücksichtigen. Die Methode der holographischen Renormierung stellt außerdem sicher, dass die Gravitationstheorie, die zum gewünschten asymptotischen Verhalten am Rand führt, wohl definiert ist. Die wesentliche Weiterentwicklung besteht in der Definition der CHS Wirkung im gekrümmten Raum, wobei die Krümmung über lineare Terme hinaus berücksichtig wird. Unter diesen Gegebenheiten sollen Eigenschaften der Zustandssumme in d Dimensionen untersucht werden und Rückschlüsse auf die vierdimensionale Theorie am Rand gezogen werden.

Alles, was wir um uns herum sehen, besteht aus kleinen Grundbestandteilen der Natur. Diese Bauteile lassen sich als Teilchen interpretieren und sind durch Masse, Ladung und Eigendrehimpuls - auch Spin genannt - charakterisiert und durch Symmetrien eingeschränkt. Eine der möglichen Symmetrien ist konforme Symmetrie, die besagt, dass Teilchen und ihre Wechselwirkungen nicht von der Skala abhängen. Wenn man konforme Symmetrie hat, so hängen die Naturgesetze und das Verhalten von Teilchen beispielsweise auf einem Ballon nicht davon ab, wie stark der Ballon aufgeblasen ist. Mathematisch bedeutet konforme Symmetrie, dass Winkel erhalten werden, Längen jedoch nicht. Es gibt etliche physikalische Systeme mit annähernd konformer Symmetrie und möglicherweise spielt konforme Symmetrie in den Grundgesetzen der Physik eine entscheidende Rolle, auch wenn das im Alltag nicht der Fall ist. Das wichtigste Forschungsergebnis in diesem Projekt war die theoretische Vorhersage von Teilchen mit höherem Spin und konformer Symmetrie in drei Raumzeitdimensionen. "Höherer Spin" bedeutet Spin größer als 2, dem Spin von Gravitonen, den Austauschteilchen der Gravitationskraft. Eine wichtige Anwendung war das Studium der holographischen Konsequenzen der Existenz dieser Teilchen. "Holographie" bedeutet in diesem Zusammenhang die Existenz von zwei verschiedenen Theorien in unterschiedlichen Dimensionen die dennoch dasselbe physikalische System beschreiben. Die Theorie in höheren Dimensionen ist eine Quantentheorie der Gravitation (mit höheren Spin-Teilchen) und die Theorie in einer Dimension weniger ist eine Quantentheorie ohne Gravitation. Wenn man beispielsweise einen bestimmten Zustand in der Quantentheorie ohne Gravitation präpariert kann dieser Zustand einem Schwarzen Loch in der Gravitationstheorie entsprechen. In unserer Forschungsarbeit haben wir Beispiele für genau dieses Verhalten gefunden.