Extremale Polynome auf Teilmengen des Einheitskreises

Wir planen zwei verschiedene Klassen von extremalen Polynomen näher zu untersuchen. Diese sind Tschebysheff- und orthogonale Polynome. Die Tschebyscheff Polynome vom Grad n assoziiert zu einer kompakten Teilmenger der komplexen Ebene sind jene Polynome, welche im Betrag auf der gegebenen Menge durch 1 beschränkt sind und maximalen Führungskoeffizienten haben. Widom hat 1969 in einem bahnbrechenden paper eine vollständige Beschreibung der Asymptotik der Tschebysheff Polynome gegeben, falls die Menge eine endliche Vereinigung von Jordan Gebieten ist. Es war ihm jedoch nicht möglich eine asymptotische Beschreibung anzugeben, falls die Menge auch Jordanbögen enthält. Fast 50 Jahre später fehlt eine entsprechende Theorie noch immer. Wir schlagen vor anstatt der Tschebyscheff Polynome, ein allgemeineres Problem zu lösen. Nämlich für einen gegebenen Punkt in der Komplementärmenge jenes Polynom vom Grad n zu finden, das auf der Menge durch 1 beschränkt ist und in dem Punkt maximalen Wert hat. Eine Vermutung von Yuditskii besagt, dass der Grenzwert des extremalen Wertes als Funktion auf der Komplementärmenge die Diagonale eines reproduzierenden Kernes ist. Dies würde eine ganz neue Sicht für die Asymptotik von Tschebyscheff Polynome eröffnen. Wir planen diese Frage für die Vereinigung von Bögen des Einheitskreises und für eine Spirale zu behandeln. Der Satz von Killip und Simon beschreibt wie Hilbert-Schmidt Perturbationen das Spektrum des freien diskreten Schrödinger Operators beeinflussen und umgekehrt, wie Störungen des Spektrums sich auf die Koeffizienten des Operators auswirken. Das Spektrum des freien diskreten Schrödinger Operators ist das Intervall [-2,2]. Dieses Resultat wurde für beliebige Vereinigungen von Intervallen erweitert. Der Satz von Killip und Simon ist eine reelle Version eines bedeutenden Satzes von Szegö, welches ein Resultat für den Einheitskreis und entsprechende unitäre Operatoren, genannt CMV Matrizen ist. Eine Verallgemeinerung des Satzes von Szegö für beliebige Vereinigung von Kreisbögen ist noch nicht bekannt. Wir planen die Methoden, die zu der Verallgemeinerung des Satzes von Killip und Simon geführt haben, auch für CMV Matrizen zu behandeln und sind zuversichtlich, dass dies eine solide Grundlage für eine Verallgemeinerung des Satzes von Szegö liefert. Die Korteweg-de-Vries Gleichung ist eine partielle Differentialgleichung in Raum und Zeit. Es ist bekannt, dass periodische Anfangsbedingungen Lösungen die fastperiodisch in Zeit Richtung sind liefern. Deift hat die Frage gestellt, ob dies auch für fast periodische Anfangsbedingungen gilt. Aufbauend auf einer Arbeit von Damanik, Binder, Lukic und Goldstein, wollen wir diese Frage in einer Klasse von Anfangsbedingungen, welche in diesem Rahmen natürlich erscheint, positiv beantworten.

Wir beschreiben zwei bedeutende Probleme, welche im Zuge dieses Projekts gelöst wurden: Die Korteweg-de-Vries Gleichung ist eine partielle Differentialgleichung in Raum und Zeit. Es ist bekannt, dass periodische Anfangsbedingungen Lösungen die fastperiodisch in Zeit Richtung sind liefern. Deift hat die Frage gestellt, ob dies auch für fast periodische Anfangsbedingungen gilt. Unter der Annahme einer sehr natürlichen Momentenbedingung, ist es uns gelungen für fastperiodische Anfangsbedingung eine Lösung der KdV Gleichung zu konstruieren, die auch fastperiodisch in der Zeit Richtung ist und somit haben wir unter diesen Vorraussetzungen eine positive Antwort auf die Deift Frage gegeben. Für eine fixe beschränkte Menge der Ebene ist es eine natürliche Fragestellung, wie sich eine elektrische Ladung darauf verteilt, um einen Gleichgewichtszustand einzunehmen, vorausgesetzt sie kann sich auf der Menge frei bewegen. Eine solche Ladungsverteilung wird üblicherweise durch ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf der Menge modelliert. Der Gleichgewichtszustand entspricht jener Verteilung, welche die logarithmische Energie minimiert. Es ist zu erwarten (und auch korrekt), dass das logarithmische Potential assoziiert zu diesem Gleichgewichtszustand konstant auf der Menge ist. Dieser konstante Wert wird Robinkonstante genannt. Die Robinkonstante ist in vielen Forschungsbereichen der Mathematik relevant. Zum Beispiel dient sie als Reskalierungsparameter bei Resultaten, welche die Asymptotik extremaler Polynome beschreiben. Insbesondere ist sie auch in der Spektraltheorie von Jacobimatrizen von Bedeutung. Klarerweise ist das oben beschriebene Minimierungsproblem nicht die richtige Fragestellung, wenn die gegebene Menge unbeschränkt ist. Allerdings, wenn man anstatt Differenzenoperatoren (wie Jacobimatrizen), Differentialoperatoren (wie stetige Schrödinger Operatoren) betrachtet, ist das zugrundeliegende Spektrum meist unbeschränkt. Daher ist es wünschenswert auch eine entsprechende Robinkonstante für solche Mengen zu definieren. Für den Fall von Spektra von stetigen Schrödinger beziehungsweise Dirac Operatoren ist es uns gelungen eine solche Kostante zu finden. Diese Konstante war dann der Ausganspunkt um eine ganze Theorie der Stahl-Totik Regularität für stetige Schrödinger und Dirac Operatoren zu entwickeln. Vereinfacht gesprochen ist dies eine Theorie die beschreibt, wann Lösungen dieser Differentialgleichungen mit gegebenen Anfangsbedingungen (so genannte Dirichletlösungen) eine reguläres Wachstumsverhalten in der Raumvariable haben.