Algebraische Geometrie für Parallel- und Serienmanipulatoren

Die vorgeschlagenen Forschungsarbeiten werden sich auf die Untersuchung von seriellen und parallelen Manipulatoren konzentrieren, zwei der wichtigsten Familien von mechanischen Getrieben, die weitgehend in industriellen Anwendungen verwendet werden. Die wichtigste Technik, die dabei verwendet wird, ist die algebraische Geometrie, nämlich das Studium von Polynomgleichungen. Obwohl in den Disziplinen Mathematik und Kinematik schon seit vielen Jahren serielle und parallele Manipulatoren erforscht werden, sind mehrere grundlegende und wichtige Fragen noch immer nicht beantwortet. Zum Beispiel ist keine komplette Klassifizierung von seriellen Manipulatoren, die aus sechs Stäben bestehen, geschlossen sind, und sich mit mindestens einem Freiheitsgrad bewegen, zur Zeit bekannt. Genauso wenig wissen wir, wie man parallele Manipulatoren charakterisiert, die aus zwei starren Körpern bestehen, die durch sphärische Gelenke mit sechs Stäben verbunden sind und die einen Grad von Freiheit in der Bewegung haben. In den letzten Jahren wurden Methoden aus der reellen und komplexen algebraischen Geometrie entwickelt und erfolgreich auf diese Art von Problemen angewendet; dies führte zu Fortschritten sowohl in algorithmischischer als auch in theoretischer Hinsicht. Insbesondere konnten sowohl parallele als auch serielle Manipulatoren mit fünf Stäben, jeweils mit einem Freiheitsgrad mehr als erwartet, vollstänig klassifiziert werden. In diesem Forschungsprojekt wollen wir alte und neue Techniken aus der algebraischen Geometrie anwenden, um noch ungelöste Fragen in der Kinematik zu lösen. Beispiele sind die (teilweise) Charakterisierung von Parallelmanipulatoren mit mehr als sechs Stäben, oder der Aufbau einer theoretischen Grundlage, die erlaubt, die Bewegung von parallele Manipulatoren mit unendlich vielen Stäben zu erklären. Aus rechnerischer Sicht wollen wir untersuchen, ob eine bessere Kenntnis der Geometrie der beteiligten Objekte übersetzt werden kann in bessere Algorithmen zur Synthese solcher Manipulatoren. Der Erfolg dieses Forschungsprojektes würde zu einem besseren Verständnis von grundlegenden Objekte in der Kinematik betragen und die Verbindung zwischen der algebraischen Geometrie und Anwendungen stärken, in der Hoffnung, dass die Fülle von Ergebnissen, die uns in der algebraischen Geometrie zur Verfügung stehen, effektiv zu Algorithmen umgesetzt werden können.

Das Ziel des Projekts ``Algebraische Geometrie für Parallel- und Serienmanipulatoren'' war, Techniken aus der algebraischen Geometrie (dem Teilgebiet der Mathematik, das sich mit polynomialen Gleichungssystemen beschäftigt) zu der Untersuchung von Mechanismen und speziell deren Klassifizierung anzuwenden, nämlich einerseits Mechanismen mit zwei Platformen, die durch Stäbe verbunden sind (parallele Manipulatoren), und andererseits Mechanismen bestehend aus Gliedern, die nacheinander mit Drehgelenken verbunden sind (serielle Manipulatoren). Das Hauptaugenmerk war Mechanismen gerichtet, deren Mobilität grösser als erwartet ist. Das Interesse an den Fragenstellungen stammt in den letzten 70 Jahren hauptsächlich aus der Verbindung zu der Robotik; die Hintergründe lassen sich mindenstens 200 Jahre zurückverfolgen. Der gewünschte Beitrag war theoretischer Natur, in Zusammenhang mit Problemen die noch ausser Reichweite liegen. Algebraische Geometrie wurde bereits früher zu diesem Zweck eingesetzt, die Besonderheit dieses Projekts liegt darin, dass Werkzeuge verwendet wurden, die in der Fachliteratur in diesem Zusammenhang noch nie auftraten. Einerseits erlangten wir zusammen mit unseren Forschungskollegen neue Erkenntnisse zu parallel manipulators, insbesondere bezüglich ihrer Klassifikation, und rückten bereits bekannte Ergebnisse in ein neues Licht. Wir konnten feststellen, dass die Mobilität eines klassischen Beispiels eines Mechanismus - der flexible Oktaeder von Bricard - über kombinatorische Strukturen "extremaler" Konfigurationen verstanden werden kann, und wir konnten alle Kurven von Konfiguration einer gewissen Familie paralleler Manipulatoren mit sechs Beinen beschreiben. Darüber hinaus ermöglichte das Verständnis einer (gewissen) Kodierung von Konfigurationen von Punkten auf einer Sphäre modulo Rotationen Resultate über rigide und flexible Graphen auf der Sphäre herzuleiten (die äquivalent zu Resultaten über Mechanismen mit Rotationsgelenken, deren Achsen durch einen gemeinsamen Punkt verlaufen, sind); wir haben die Hoffnung, dass die dazu entwickelte Technik in Zukunft dazu verwendet werden kann, ähnliche Mechanismen zu untersuchen. Andererseints können wir Selbes leider nicht über serial manipulators sagen. Es war uns nicht möglich, mit den von uns verwendeten Ideen und Methoden die untersuchten Problemestellungen so zu durchdringen, wie wir es zu Beginn gehofft hatten. Die hier verwendeten Verfahren erwiesen sich auch in angrenzenden Fachgebieten als nützlich, so zum Beispiel in der Starrheitstheorie oder bei der Untersuchung der Beweglichkeit von Polyedern. Diese Resultate wurden unter Zuhilfenahme von wohlbekannten Techniken aus der algebraischen Geometrie erzielt, welche unseres Wissens bisher noch nicht in dieser Weise angewendet worden sind. Wir sind sogar der Meinung, dass ein wesentlicher Beitrag unserer Arbeit darin besteht, dass die ursprünglichen Problemstellungen derart umformuliert wurden, dass sie den klassischen Techniken zugänglich wurden. Daher hoffen wir, dass diese Vorgehensweise bei ähnlichen Fragestellungen ebenso wieder angewendet werden kann, so dass wir aus der Fülle von Resultaten aus der "abstrakten" Mathematik schöpfen können, mit dem Ziel, neue Einsichten in die Gebiete der Kinematik und Beweglichkeitstheorie zu gewinnen.