Das Lokalisierungsproblem und sparse Mengen

Ein Kernproblem im Informationszeitalter ist es, Daten so darzustellen, dass charakteristische Eigenschaften erkennbar werden. In vielen Anwendungen, wie der mobilen Kommunikation oder der Optik, sind die Möglichkeiten diese Darstellungen zu messen jedoch begrenzt und Informationen stehen nur auf bestimmten Teilgebieten zur Verfügung. Hier stellt sich nun die Frage, welche Rückschlüsse sich auf das ursprüngliche Signal ziehen lassen. Eine mathematische Formulierung ist durch das Lokalisierungsproblem gegeben, welches sich vereinfacht folgendermaßen formulieren lässt: Es sei eine Funktion aus einer bestimmten Klasse von Funktionen gegeben. Wie gut kann die Energie bzw. Masse dieser Funktion auf bestimmte Teilmengen des Definitionsbereiches konzentriert sein? Trotz der leicht verständlichen Formulierung existieren nur einige wenige exakte Lösungen der Fragestellung für spezielle Funktionenklassen und Teilmengen. Ziel dieses Projektes ist es neue Abschätzungen herzuleiten, die von einfach zu berechnenden Größen abhängen und eine gute Annäherung an die eigentliche Lösung darstellen. Dabei soll insbesondere der Effekt erklärt werden, warum Funktionen in vielen Fällen nur sehr schlecht auf sparsen Mengen, das heißt auf Mengen die lokal nur eine kleine Ausdehnung besitzen, konzentriert sein können. Die Frage der Lokalisierung von Funktionen ist in vielen Bereichen der Analysis von großer Bedeutung, zum Beispiel in der Signalverarbeitung. Dort stellt sich die Frage, wie viel Information über ein Signal notwendig ist, um es exakt wiederherzustellen. In diesem Projekt soll die Methode des großen Siebs verwendet werden, ein Ansatz der ursprünglich aus der analytischen Zahlentheorie stammt und dort vielfach verwendet wird. Die Idee, das große Sieb für Lokalisierungsprobleme zu verwenden, wurde erstmals von Donoho und Logan auf die Funktionenklasse der band-begrenzten Funktionen angewandt. Die allgemeine Hypothese von LOSSLEsS ist, dass sich diese Methode auch auf weitere wichtige Funktionenklassen anwenden lässt. Beispielsweise sollen die Lokalisierung der Kurzzeit- Fourier Transformation und von Funktionen auf der 3-dimensionalen Sphäre betrachtet werden. Diese Funktionenklassen spielen eine tragende Rolle in verschiedensten Anwendungen, zum Beispiel in der Akustik. Falls dieses Projekt erfolgreich abgeschlossen wird, stehen Forschern neuartige quantitative obere Schranken für das Lokalisierungsproblem auf den betrachteten Funktionenräumen zur Verfügung, ohne dabei aufwendig eine exakte Lösung, oder eine numerische Approximation berechnen zu müssen.

Eines der Kernprobleme im Informationszeitalter ist es, Daten so darzustellen, dass charakteristische Eigenschaften erkennbar werden. In vielen Anwendungen, wie der mobilen Kommunikation, oder der Optik, sind die Möglichkeiten diese Darstellungen zu messen jedoch begrenzt und die Informationen stehen nur auf Teilgebieten zur Verfügung. Ziel des Projekts war es, mittels der Methode des großen Siebs nach Donoho-Logan Abschätzungen herzuleiten, welche Rückschlüsse auf das ursprüngliche Signal (bzw. sogar dessen vollständige Rekonstruktion) erlauben. Mathematisch gesehen geht es dabei um quantitative Schranken an das Lokalisierungsproblem, welches sich grob vereinfacht folgendermaßen formulieren lässt: Wie gut kann die Energie einer Funktion mit gewissen Eigenschaften auf bestimmte Teilmengen des Definitionsbereiches konzentriert sein? Trotz der leicht verständlichen Formulierung existierten bisher nur einige wenige exakte Lösungen der Fragestellung für spezielle Funktionsklassen und Teilmengen. Das große Sieb nach Donoho-Logan ermöglichte es in diesem Projekt quantitative Schranken für beispielsweise das Lokalisierungsproblem für die Kurzzeit-Fourier Transformation, oder für bandbeschränkte Funktionen auf der 3-dimensionalen Sphäre zu zeigen. Letzteres konnte sogar auf eine allgemeinere Klasse von algebraischen Objekten verallgemeinert werden. Die erwähnten Funktionenklassen spielen eine tragende Rolle in verschiedensten Anwendungen in der Signalverarbeitung, zum Beispiel in der Akustik. Ein genauerer Blick auf die Resultate bestätigt dabei theoretisch die Beobachtung, dass Funktionen in vielen Fällen nur sehr schlecht auf sparsen Mengen, das heißt auf Mengen die lokal nur eine kleine Ausdehnung besitzen, konzentriert sein können. Dies kann man auch als weitere Ausprägung der Unschärferelation verstehen. Mit Abschluss des Projekts stehen nun quantitative Abschätzungen an die Lösung des Lokalisierungsproblems auf verschiedenen Funktionenräumen zur Verfügung, ohne dabei aufwendig eine exakte Lösung, oder eine numerische Approximation berechnen zu müssen. Es hat sich zudem herausgestellt, dass die Methode leicht verallgemeinerbar ist und in weiteren Bereichen anwendbar sein sollte. Dazu wurden weitere Resultate erzielt, deren Fragestellungen nicht bereits im Projektantrag standen. Hier sind insbesondere zwei Arbeiten zu nennen: Zum Einen wurde die Konzentration der Kurzzeit-Fourier Transformationen auf Raumkurven untersucht und zum Anderen wurde mit dem Beweis der Existenz einer Nyquist-Dichte für polyanalytische Wavelets eine Teillösung einer lange offenen Vermutung der Wavelettheorie erreicht.