Topologie der Lorenz-ähnlichen Attraktoren

Dieses Projekt mit dem Titel "Topologie der Lorenz-ähnlichen Attraktoren" von Jernej Cinc zielt darauf ab, das dreidimensionale Paradigma des Chaos für den Lorenz Attraktor und seine Lorenz-ähnliche Attraktoren genannten Verallgemeinerungen zu untersuchen. In den frühen 1960er Jahren studierte der Astronom und Physiker Edward N. Lorenz ein Modell für Wärmekonvektion und gab ein vereinfachtes Modell zum Studium mit einem System von drei Differentialgleichungen. Lösungen für diese Gleichungen wurden als Lorenz-Attraktoren bekannt. Trotz der Tatsache, dass diese Attraktoren den Mathematikern seit etwa 40 Jahren bekannt sind, wurde die Topologie (Feinstruktur) der Attraktoren noch nicht im Detail untersucht. Das Haupthindernis, dass so eine Untersuchung noch nicht durchgeführt wurde, war das Fehlen von Techniken, die dafür notwendig sind. Das vorgeschlagene Projekt schlägt vor, solche Techniken zu entwickeln, die aus der gut untersuchten symbolischen Dynamik für Intervallabbildungen basieren und eine analoge Studie durchführen, wie sie auf dem verwandten Gebiet der Inversen-Limes-Räume von Zeltabbildungen gegeben wurde. Nachdem die symbolische Beschreibung gegeben wurde, schlägt das Projekt vor, die Ergebnisse zu sammeln, die durch den organisierten symbolischen Aufbau angeboten werden. Das zweite Ziel des Projekts besteht nämlich darin, topologische Inhomogenitäten (d. h. topologische Merkmale, die zur Unterscheidung zwischen Attraktoren verwendet werden) zu charakterisieren, die in Lorenz-Attraktoren auftreten. Lokal sind Lorenz Attraktoren oft einfach. Wir vermuten jedoch, dass dies nicht der topologisch typische Fall ist. Unsere Vermutung und ihre Konsequenzen basieren auf dem Wissen, das während der Untersuchung von Inversen-Limes-Räumen von Zeltabbildungen entwickelt wurde. Diese Studie wurde von Bruin und Barge, Brucks und Diamond in den späten 1990er Jahren initiiert. Ein weiteres Ziel des Projekts ist eine topologische Klassifizierung der Lorenz-ähnlichen Attraktoren. Wir werden Modifizierungen von Techniken einführen, die 2013 von Barge, Bruin und Štimac entwickelt wurden, um das lange offene Klassifikationsproblem über Inverse-Limes-Räume von Zeltabbildungen zu beweisen, das unter dem Namen Ingram-Vermutung bekannt ist. Das letzte Problem des Projekts besteht darin, mögliche Selbst-Homöomorphismen von Lorenz-ähnlichen Attraktoren zu charakterisieren und deren Eigenschaften zu untersuchen. Analoge Studien im Kontext von Inverse-Limes-Räume von Zeltabbildungen wurden kürzlich von Bruin und Štimac gegeben und folgten implizit den Techniken, die zur Lösung der Ingram-Vermutung verwendet wurden. Wir vermuten, dass eine Charakterisierung möglicher Selbst- Homöomorphismen von Lorenz-Attraktoren auch in diesem Zusammenhang eng mit der topologischen Klassifikation zusammenhängt. Die Ergebnisse dieses Projekts könnten einen neuen Weg der mathematischen Forschung eröffnen, da wir beabsichtigen, bereits getestete Techniken in einem Bereich der Mathematik einzuführen, in dem diese Techniken noch nicht verwendet wurden.

Dieses Projekt befasste sich mit den topologischen, dynamischen und maßtheoretischen Eigenschaften der sogenannten "seltsamen Attraktoren", bei denen es sich um kompliziert verbundene Mengen handelt, die als Attraktoren chaotischer dynamischer Systeme auftreten. Einer der wichtigsten und bekanntesten seltsamen Attraktoren sind die Lorenz-Attraktoren. Insbesondere durch die Beobachtungen an Lorenz-Attraktoren wurde der weit verbreitete Begriff "Schmetterlingseffekt" geprägt. In diesem Projekt haben wir uns Fragen zu Lorenz-Attraktoren sowie anderen eindimensionalen kompakten zusammenhängenden Mengen gestellt, die als seltsame Attraktoren erscheinen. Das erste Hauptergebnis (gemeinsam mit Piotr Oprocha (AGH Krakau) bewiesen) stellte fest, dass der Pseudobogen, Gegenstand von großem Interesse in der Kontinuumstheorie, Maß und Kontinuumstheorie verbindet. Wir haben nämlich gezeigt, dass minimale invertierbare Erweiterungen generischer chaotischer Intervallfunktionen auf den Pseudobögen leben. Darüber hinaus haben wir durch diese generischen Funktionen induzierte Attraktoren untersucht und gezeigt, dass sie mehrere gute messtheoretische und statistische Eigenschaften besitzen und durch Computersimulationen gut modelliert werden können. Das zweite Hauptergebnis dieses Projekts ist die Lösung eines mehr als 30 Jahre alten Problems, der Entropievermutung von M. Barge aus dem Jahr 1989, die gemeinsam mit Jan Boroński (AGH Krakau) und Piotr Oprocha (AGH Krakau) durchgeführt wurde. Die Vermutung besagte, dass der Pseudobogen Homöomorphismen mit beliebigem nicht-negativem Realwert der topologischen Entropie zulässt, und wir haben die Vermutung positiv beantwortet. Das letzte Hauptergebnis dieses Projekts war die Aufstellung einer Theorie zur Untersuchung lokaler topologischer Eigenschaften seltsamer Attraktoren, die gemeinsam mit Ana Anušić (Universität São Paulo) et al. durchgeführt wurde. In einer Reihe von Artikeln haben wir neuartige Werkzeuge entwickelt, die zum Nachweis und zur Unterscheidung nützlich sind verschiedene Arten von Inhomogenitäten in eindimensionalen seltsamen Attraktoren.