Langzeitverhalten der defokussierenden NLS

Das Projekt Long-time asymptotics for the defocusing nonlinear Schrödinger equation on the half- line with time-periodic boundary data befasst sich mit dem Langzeitverhalten von Lösungen der defokussierenden nichtlinearen Schrödingergleichung (dNLS). Diese partielle Differentialgleichung modelliert eine Vielzahl von physikalischen Phänomenen: etwa die Ausbreitung von Lichtwellen in Glasfaserkabeln, die Fortpflanzung bestimmter Arten von Wasserwellen, oder zeitliche Entwicklung von Bose-Einstein-Kondensaten. Die grundlegende Frage, die wir versuchen zu klären, lässt sich folgendermaßen auf den Punkt bringen: wie kann der Langzeiteffekt eines externen periodischen Stimulus auf dieses nichtlineare System mathematisch beschrieben werden? Zur leichteren Veranschaulichung soll uns ein freischwingendes Seiletwa von einem hohen Turm hängend dienen. Nun bringen wir das obere Seilende in eine periodische Schwingung, die etwa der eines Pendels gleicht. Wie sehen die von uns erzeugten Wellen auf halbem Wege aus? Wie verhalten sie sich kurz bevor sie das Seilende erreichen? Was geschieht, wenn wir das Seil fester, oder mit höherer bzw. niedrigerer Frequenz schütteln? Ähnliche Fragestellungen ergeben sich auf natürliche Weise im Rahmen von Wellen, welche durch dNLS beschrieben und mittels eines externen periodisches Signales stimuliert werden. Antworten auf diese Fragen sind von großem theoretischer Interesse und haben darüber hinaus hohe praktische Bedeutungzum Beispiel bei der Übertragung von optischen Signalen durch Glasfaserkabel. Unser Ziel ist es, Lösungen für die zugrundeliegende, in der Literatur bisher unbehandelte Problemstellung zu finden. Mathematisch lässt sich dieses Problem mit Hilfe eines sogenannten Anfangs- und Randwertproblems formulieren: der periodische Taktgeber wird mittels einer passenden Randbedingung festgelegt. Um Lösungen dieses Problems zu studieren, bauen wir auf Riemann-Hilbert Methoden für nichtlineare integrable partielle Differentialgleichungen auf, und bestimmen das Langzeitverhalten der Lösungen der resultierenden Riemann-Hilbert Probleme mit Hilfe der Methode des nichtlinearen steilsten Abstiegs.

Der zentrale Forschungsgegenstand dieses Projektes war die defokussierende nichtlineare Schrödingergleichung, welche eine bedeutende Rolle innerhalb der Mathematik, in der mathematischen Physik, sowie in verschiedenen Bereichen der Naturwissenschaften und Technik spielt. In ihren Anwendungen beschreibt sie unter anderem die zeitliche Ausbreitung von bestimmten dispersiven Wellen in nichtlinearen Medien; etwa im Wasser und Ozean, in Lichtwellenleitern (Glasfaserkabel) oder Plasmen. Lösungen der nichtlinearen Schrödingergleichung beschreiben das zeitliche Verhalten sowie räumliche Eigenschaften solcher Systeme und sind daher von großer Bedeutung. Unser spezielles Interesse galt bestimmten Lösungen, welche gewisse Anfangs- und Randwertbedingungen erfüllen. Das von uns betrachtete Problem besitzt einen (räumlichen) Randpunkt an dem alle zukünftigen Werte durch eine asymptotisch periodische Funktion vorgegeben werden, während die Lösungswerte in weiter Ferne gegen Null abfallen sollen. Darunter kann man sich beispielsweise das Anlegen eines periodischen Signals am Eingangspunkt eines physikalischen Systems vorstellen, das in der Ferne (fast) still steht. Da es sich bei der zugrundeliegenden Gleichung um eine nichtlineare partielle Differentialgleichung handelt, ist bereits die Frage nach der Existenz von derartigen Lösungen eine äußerst komplizierte mathematische Problemstellung. Darüber hinaus interessierte uns das Langzeitverhalten von solchen Lösungen, wodurch neben der Existenz vor allem deren asymptotische Eigenschaften im Vordergrund des Forschungsvorhaben standen. Mithilfe von Spektralmethoden für sogenannte integrable nichtlineare partielle Differentialgleichungen (denen die fokussierende nichtlineare Schrödingergleichung angehört) gelang es uns, Lösungen für das betrachtete Anfangs- und Randwertproblem zu konstruieren. Außerdem gelang es uns, das Langzeitverhalten dieser Lösungen mittels Herleitung von expliziten Näherungsformeln zu beschreiben. Insbesondere konnten wir beweisen, dass es genau drei asymptotische Sektoren in der Raum-Zeit-Ebene gibt, in denen sich Lösungen qualitativ unterschiedlich verhalten: einen Sektor mit ebenen Wellen im unmittelbaren Bereich des periodischen "Eingangssignals", einen Sektor mit asymptotisch abfallenden Wellen in der Ferne, und einen mittleren Sektor mit gedämpften modulierten Wellen. Außerdem betrachteten wir ein verwandtes Anfangswertproblem. Wir untersuchten die zeitliche Entwicklung einer speziellen initialen Welle, die in einer Richtung in eine periodische Form übergeht, währenddessen sie in die entgegengesetzte Richtung gegen Null abfällt. Hier konnten wir umfassende Resultate für die zugehörigen Spektraldaten zeigen, die Existenz globaler Lösungen beweisen, und deren Langzeitverhalten detailliert beschreiben.