Ein allgemeiner Rahmen für ultradifferenzierbare Vektoren

Im mathematischen Fachgebiet der Analysis werden Funktionen, die Ableitungen beliebiger Ordnung besitzen, als glatt bezeichnet. Ultradifferenzierbare Funktionen sind glatte Funktionen, deren Ableitungen bestimmte gleichmäßige Abschätzungen erfüllen. Die bekannteste Klasse von ultradifferenzierbaren Funktionen ist der Raum der reell-analytischen Funktionen. Ultradifferenzierbare Funktionen spielen eine wichtige Rolle im Studium von partiellen Differentialgleichungen. So ergibt ein klassisches Resultat, dass alle Lösungen der Laplacegleichung reell-analytische Funktionen sind. Andererseits sind die Lösungen der Wärmeleitungsgleichung Elemente einer ultradifferenzierbaren Klasse, die strikt größer als die Klasse der reell-analytischen Funktionen ist. Das Problem, das im Mittelpunkt des vorliegenden Projektes steht, kann folgendermaßen formuliert werden: Angenommen eine glatte Funktion erfüllt die definierenden Abschätzungen einer bestimmten ultradifferenzierbaren Klasse für einige Ableitungen. Kann man folgern, dass alle Ableitungen diese Abschätzungen erfüllen, d.h. ist die Funktion ein Element dieser Klasse? Eine Funktion wie oben beschrieben wird in der Literatur üblicherweise ein ultradifferenzierbarer Vektor genannt. Das Studium von ultradifferenzierbaren Vektoren hat vielfältige Verbindungen und Anwendungen mit der Theorie von bestimmten Differentialgleichungen. Im Laufe des Forschungsaufenthalts an der Universidade de Sao Paulo ist geplant die allgemeine Theorie der ultradifferenzierbaren Klassen, die in den letzten Jahren einen großen Fortschritt gemacht hat, auf das Studium der ultradifferenzierbaren Vektoren anzuwenden. Dies erlaubt es einerseits ältere Resultate gleichzeitig zu vereinheitlichen und zu verallgemeinern. Andererseits ergeben sich dadurch aber auch neue interessante Fragestellungen, die einer weiteren Untersuchung bedürfen. Die Arbeiten an diesen Problemen werden in Zusammenarbeit mit der Forschungsgruppe des Hosts Paulo Cordaro an der Universidade de Sao Paulo erfolgen.

In diesem Projekt wurde ein allgemeiner Rahmen für die Diskussion von ultradifferenzierbaren (kurz: u.d.) Vektoren mit Hilfe der modernen Theorie von ultradifferenzierbaren Klassen. Ultradifferenzierbare Klassen sind Algebren von glatten Funktionen, die definiert sind durch Abschätzungen der Ableitungen. Das primäre Beispiel von solchen Klassen sind die Gevrey Klassen, welche eine wichtige Rolle in der Theorie der PDEs spielt. Gevrey classes wurden auf verschiedene Arten verallgemeinert, die bekanntesten sind Klassen gegeben durch Gewichtsfolgen und durch Gewichtsfunktionen. Die Klassen definiert durch Gewichtsfolgen bzw. Gewichtsfunktionen, obwohl meistens verschieden, haben im Allgemeinen ähnliche Eigenschaften. Dieses Projekt behandelt ultradifferenzierbare Regularität in der Theorie von PDEs, hauptsächlich die Regularität von ultradifferenzierbare Vektoren von linearen Differentialoperatoren. Ultradifferenzierbare Vektoren von einem gegebenen Operator sind Funktionen, die die definierenden Abschätzungen der gegebenen ultradifferenzierbaren Klasse a priori nur für die Iterationen des Operators erfüllen. Wenn für einen Operator P the ultradifferenzierbaren Vektoren alles Funktionen der selben ultradifferenzierbaren Klasse U sind, sagt man dass das "Theorem for Iterates" gilt für den Operator P und die Klasse U. Es ist bekannt dass das "Theorem of Iterates" gilt für elliptische Operatoren und jede "vernünftige" ultradifferenzierbaren Klasse. Im Fall von ultradifferenzierbaren Koeffizienten erlaubt eines der Resultate dieses Projektes, die Bedingungen an die ultradifferenzierbaren Klasse, speziell im Fall von Gewichtsfolgen, signifikant zu lockern. Für nicht elliptische Operatoren ist die Situation komplizierter: In der analytische Kategorie kann es sein dass das "Theorem of Iterates" gilt oder nicht; z.B. sind analytische Vektoren von hypoelliptischen Operatoren von principal type analytische Funktionen. Andererseits gilt, dass das "Theorem of Iterates" für nicht-analytische Gevrey Klassen nur gelten kann, wenn der Operator elliptisch ist. In diesem Fall ist man interessiert an der minimalen Regularität von Gevrey Vektoren. In dem während des Projektes entwickelten neuen Rahmen für u.d. Vektoren kann der Verlust der Regularität von Vektoren systematisch im Fall von allgemeinen ultradifferenzierbaren Klassen studiert werden. Sätze von Baouendi und Metivier verallgemeinernd zeigen die Hauptresultate des Projektes einen Gegensatz zwischen Klassen gegeben mithilfe von Gewichtsfolgen mit denen definiert durch Gewichtsfunktionen. Für eine bestimmte Familie von Gewichtsfunktionen gilt das "Theorem of Iterates" für hypoelliptische Operatoren von "principal type" bezüglich Klassen gegeben durch ein Element dieser Familie. Andererseits kann ein ähnliches Resultat nicht gelten für Klassen definiert durch Gewichtsfolgen. Weitere Ergebnisse, die während dieses Projektes erreicht wurden, verallgemeinern einige Aussagen über Gevrey Hypoelliptizität in die ultradifferenzierbaren Kategorie.