Zulässige Vektoren, Dichtheitsbedingungen und Lokalisierung

Die Verwendung kohärenter Zustände, um Funktionen in Komponenten einfacher Gestalt zu zerlegen, ist eine sehr leistungsfähige Methode, die üblicherweise unter dem Namen atomare Zerlegung bekannt ist. Sie ermöglicht, zum Beispiel, die effiziente Analyse von Operatoren auf Funktionenräumen, indem man die Operatoren auf den einzelnen Komponenten, den sogenannten Atomen oder auch Zuständen, betrachtet. Jede Familie von Atomen ist ihrerseits durch die Wirkung einer bestimmten unitären Liegruppendarstellung auf einen festen Basiszustand, eines der Atome, gegeben. Nennenswert ist hier, dass die Atome in der Regel nicht paarweise orthogonal zu sein haben, und dass eine gegebene Familie von Atomen in Hilberträumen im Gegensatz zu einer vollständigen Orthonormalbasis in der Regel überbestimmt sein kann. Die dadurch gewonnene Flexibilität lässt sich im Rahmen der Frametheory sehr gut ausschöpfen und verleiht dem Konzept der kohärenten Zustände eine unglaublich vielseitige Anwendbarkeit, insbesondere auf jenen Gebiete der Physik (z.B. Quantenmechanik), der Mathematik (z.B. Harmonische Analysis und Funktionalanalysis) und der Elektrotechnik (Signalanalyse), in denen wohlbekannte Liegruppen eine entscheidende Rolle spielen. Es ist das Ziel dieses Projekts, Teilsysteme kohärenter Zustände für ganze Klassen an Liegruppen und ihren Dartstellungen zu untersuchen. Von besonderem Interesse sind diesbezüglich Dichtebedingungen an Frames und Rieszfolgen, deren Basiszustände lokalisierte Vektoren sind. Diese Art von Bedingungen, die überlichweise als Dichtebedingungen an die Indexmenge formuliert sind, liefert Kriterien für die Vollständigkeit von Teilsystemen aber auch die paarweise lineare Unabhängigkeit ihrer Zustände. Die größte Herausforderung hierbei ist zweifelsfrei die Bestimmung der kritischen Dichte, ab welcher ein Teilsystem sowohl ein Frame und als auch eine Rieszfolge, also eine sogenannte Rieszbasis, ist. In vielen konkreten Fällen führt die Unvereinbarkeit der kritischer Dichte eines Teilsystems mit der Lokalisierung seines Basiszustandes zu scharfen Unschärferelationen für Rieszbasen. Die Techniken, die im Zuge des Projektes verwendet und weiterentwickelt werden, rühren aus zahlreichen Feldern der Mathematik (Harmonische Analysis, Operatorentheorie, Liegruppentheorie etc.) und der mathematischen Physik her. Die konkreten Werkzeuge, die dabei Anwendung finden sollen, sind oftmals strukturelle Resultate von entscheidender B e d e u t u n g f ü r j e n e K l a s s e n

Die Zerlegung von Funktionen in Basiskomponenten ist eine leistungsfähige Technik für die Analyse von Funktionen sowie für die Operatoren, die auf sie wirken. Das liegt daran, dass die Basiskomponenten (oft als Atome bezeichnet) eine besonders einfache Form besitzen, auf der die Wirkung des Operators relativ leicht zu verstehen ist. Klassische Beispiele für solche Zerlegungen sind Fourier-Reihen periodischer Funktionen und atomare Zerlegungen von Hardy-Räumen. Im Rahmen des Projekts wurden Zerlegungen untersucht, bei denen die Atome durch eine Gruppenwirkung aus einer einzigen Funktion (oft als Template bezeichnet) abgeleitet werden. Atome dieser besonderen Form werden in verschiedenen Bereichen der mathematischen Analysis und der Physik behandelt und verwendet. Im Rahmen des Projekts wurde untersucht, unter welchen Lokalisierungsbedingungen die Zerlegung durch Template-Funktionen erhalten werden können und welchen kritischen Wert der Dichte die Indexmenge der Atome erfüllen muss, damit solche Zerlegungen gültig sind. Die im Rahmen des Projekts verwendeten Techniken stammen aus verschiedenen Bereichen der Funktionalanalysis, der harmonischen Analyse und der Darstellungstheorie. Genauer gesagt wurden diese Fragen mit Hilfe der Begriffe Beurling-Dichte, Frames und Riesz-Basen und quadratisch-integrable Gruppendarstellungen behandelt. Mit Hilfe dieser Begriffe konnten im Zuge des Projekts neue Phänomene für Gruppen mit exponentiellem Wachstum und für Indexmengen, die keine Untegruppe bilden, aufgedeckt werden. Zusätzlich zu den Fragen der Dichte und Lokalisierung von Atomen für funktionale Zerlegung untersuchte das Projekt Funktionsräume, die von Atomen erzeugt werden, welche von Translationen und anisotropen Dilatationen stammen. Dahingehend konnte eine vollständige Klassifizierung, die den Zusammenhang zwischen dem Raum und der entsprechenden Dilatationsmatrix erklärt, gewonnen werden.