Optimale Blowup Stabilität in Wellengleichungen

Partielle Differentialgleichungen (Gleichungen, die Ableitungen in mehreren Variablen involvieren) spielen eine fundamentale Rolle in allen Naturwissenschaften, insbesondere der Physik. Sie sind grundsätzliche Bausteine zum Modellieren diverser Phänomene, und treten an prominenter Stelle z.B. in der Quantenphysik, der Relativitätstheorie, der Elektrodynamik oder der Strömungsmechanik auf. In diesem Forschungsprojekt werden Gleichungen untersucht, die in der Mathematik zu den prototypischen Wellengleichungen zählen und ihren Ursprung in der Physik haben. Die ersten Gleichungen dieser Art. wurden schon im achtzehnten Jahrhundert von d`Alembert untersucht. Damals noch als Modell eines vibrierenden Strangs. Die von ihm untersuchte Gleichung wird heute als eindimensionale freie Wellengleichung bezeichnet und immer noch als Einstieg in die Materie unterrichtet. Im Laufe der Jahre wurden dann auch die mehrdimensionalen Varianten der freien Wellengleichung untersucht, welche mittlerweile auch sehr gut verstanden sind. In der heutigen Forschung werden hauptsächlich nichtlineare Versionen und andere involviertere aber verwandte Gleichungen untersucht. Diese modellieren häufig komplizierte physikalische Vorkommnisse und die assoziierten Lösungen weisen weitaus komplexere und interessantere Dynamiken vor. Eine solche Besonderheit, die Lösungen inne haben können, ist das Zusammenbrechen in endlicher Zeit. Solche Lösungen werden meistens als Blowup bezeichnet und weisen auf eine signifikante Änderung des zugrundeliegenden Systems hin (z.B. Das Implodieren eines Sterns). Zusätzlich spielen sie häufig eine wichtige Rolle in der Evolution generischer Lösungen. Daher führt das Streben nach einem besseren Verständnis über das Verhalten von Lösungen zu solchen Gleichungen von selbst zu genauen Analyse solcher Blowups. Der Fokus dieses Projektes liegt auf zwei speziellen Wellengleichungen, nämlich der Wave Maps Gleichung und der fokussierenden Wellengleichung mit einer Potenz-Nichtliniarität. Beide Gleichungen haben explizit bekannte Blowups, von welchen anhand mehrerer Arbeiten bereits gezeigt wurde, dass sie eine wesentliche Rolle im Verhalten generischer Lösungen spielen. Im Zuge dieses Projektes sollen die notwendigen Methoden entwickelt werden, um diesen Einfluss für größtmögliche Mengen an Anfangsdaten sowie randomisierter Anfangsdaten zu beweisen. Hierbei werden Werkzeuge aus verschiedenen Bereichen der Mathematik, etwa der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen, der Funktionalanalysis, sowie der harmonischen Analysis, verwendet. Weiters werden natürlich auch Standardwerkzeuge aus der Theorie der partiellen Differentialgleichungen verwendet und weiterentwickelt.