Brenier und Benamou-Brenier in stochastischem Transport

In den vergangenen Jahrzehnten hat sich optimaler Transport zu einer äußerst vielseitigen mathematischen Theorie entwickelt, die in Bereichen wie Physik, Ökonomie, Finanzmathematik und künstlicher Intelligenz eingesetzt wird. Diese Theorie bietet eine systematische Methode, um unterschiedliche Zustände oder Datensätze miteinander zu vergleichen und effizient ineinander zu überführen. Mathematisch bedeutet dies, Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu vergleichen ein Ansatz, der tiefe geometrische Strukturen sichtbar gemacht und neue Wege eröffnet hat, komplexe Systeme zu verstehen. Stochastischer optimaler Transport erweitert diese Perspektive auf stochastische Prozesse also auf Systeme, die sich in der Zeit entwickeln und auf neue Informationen reagieren. In vielen Anwendungen vergleicht man solche Prozesse, muss dabei aber beachten, dass Entscheidungen immer nur auf dem zu diesem Zeitpunkt verfügbaren Wissen getroffen werden können. Gerade in der Optimierung und Finanzmathematik ist dies entscheidend, weil sich die verfügbare Information dort ständig verändert. Während klassischer optimaler Transport inzwischen sehr gut verstanden ist und eine vollständig entwickelte geometrischen Theorie hat, ist sein stochastischer Transport noch deutlich weniger weit entwickelt. Dieses Projekt zielt darauf ab, diese Lücke zu schließen. Ein zentrales Ziel besteht darin, ein neues Analogon der Konvexität zu identifizieren einer der grundlegenden strukturellen Ideen der klassischen Theorie, die wesentlich zur Charakterisierung der optimalen Lösungen des Transportproblems beiträgt. Das entsprechende Konzept im stochastischen Kontext eröffnet den Zugang zu einer tieferen geometrischen Beschreibung dieser Transportprobleme. Die Ergebnisse sollen zeigen, wie der verfügbare Informationsfluss optimale Entscheidungen in dynamischen Systemen beeinflusst. Das Projekt erweitert die klassischen Grundlagen des optimalen Transports und bezieht die Herausforderungen zeitabhängiger Unsicherheit ein. So entsteht ein theoretischer Rahmen, der neue Ansätze für Forschung und Anwendungen in Bereichen ermöglicht, in denen stochastische Prozesse eine zentrale Rolle spielen.