Neue Strömungen im Bereich der Theorie reeller Submannigfalt

Das vorliegende Projekt ist Teil der CR-Geometrie, eines in jüngerer Vergangenheit intensiv studierten Teilgebiets der komplexen Analysis. CR Geometrie geht auf Poincaré zurück und wurde in den grundlegenden Arbeiten von Cartan, Chern, Moser, und Tanaka entwickelt, die zu einer Welle von anderen Arbeiten führten. Das Projekt setzt sich mit offenen Problemen auseinander, die sich den Standardmethoden der CR Geometrie verschliessen. Diese Probleme liegen hauptsächlich im Bereich der holomorphen Äquivalenz und Automorphismengruppen reeller Submannigfaltigkeiten in komplexen Räumen. Wir beschreiben einige neue Ansätze die zu einer Lösung der vorliegenden Probleme führen. Einige dieser neuen Ansätze sind bereits in neuen Arbeiten des Antragstellers erfolgreich angewandt worden, und haben zu entscheidenden Fortschritten in den beschriebenen Problemstellungen geführt. Die Problemstellungen werden auch anhand von historischen Bemerkungen und relevanten Referenzen erläutert.

A. Wir haben bewiesen, dass es eine formal, aber nicht holomorph gleichwertige reell-analytische Hyperflächen in komplexen Raum gibt. Damit haben wir gezeigt, dass eine formale Normalform nicht mehr ausreichend für die Losung der holomorphen Äquivalenzproblems ist. Wir haben dieses Phänomen angewendet um zu zeigen, dass es im Allgemeinen mehr formale als holomorphe Symmetrien gibt für reell-analytische Hyperflächen.B. Wir erhielten die optimale Schranke für die Dimension der Automorphismengruppe einer reell-analytischen Hyperflache im zweidimensionalen komplexen Raum. Damit haben wir eine langjährige Frage von Poincare beantwortet.C. Wir haben die Studie des analytischen Fortsetzungsproblems für einen Keim einer Abbildung von einer reell-analytischen Hyperflache im zweidimensionalen komplexen Raum zur Sphäre vervollständigt. Wir fanden die optimale Voraussetzung für die Ausdehnung einer Abbildung auf nicht minimale Punkte.D. Wir haben gezeigt, dass es reell-analytische Hyperflächen in komplexen Raum gibt, die glatt CR-äquivalent, aber nicht holomorph äquivalent sind. Dadurch haben wir die (negative) Antwort auf die Vermutung von Ebenfelt und Huang erhalten.E. Wir konstruierten eine konvergente Normalform für reell-analytische Hyperflächen in einer generischen Levi Entartung. Dies ergab die erste bekannte konvergente Normalform bei Levi- degenerierte Punkten in einer reellen Hyperfläche.F. Wir fanden eine allgemeine hinreichende Bedingung für die Konvergenz einer Chern-Moser Normalform einer reell-analytische Hyperfläche im zweidimensionalen komplexen Raum.G. Wir entdeckten das Phänomen der Sektorenverlängerung für Abbildungen von Hyperflachen von unendlichen Typs im komplexen Raum. Wir fanden auch eine optimale Bedingung für die analytische Ausdehnung einer Abbildung auf einer vollständigen Umgebung eines Punkt von unendlichen Typs.)