Affine Geometrische Analysis

Der Antragsteller hat seine Doktorarbeit im Bereich der Geometrischen Flüsse und der Konvexgeometrie mit Prof. Alina Stancu an der Concordia Universität in Montreal 2013 verteidigt. Seit Herbst 2013 arbeitet er als Post-Doc am Institut für Diskrete Mathematik und Geometrie, TU Wien. Dieses Institut, derzeit mit Prof. Monika Ludwig als Vorstand und mit Prof. Franz Schuster als stellvertretender Vorstand, ist ein international anerkanntes und exzellentes Zentrum für mathematische Forschung im Bereich der Konvexgeometrie. Heute arbeitet an diesem Institut eine große, lebendige und enthusiastische Forschungsgruppe und erzielt wichtige mathematische Resultate. Das vorgeschlagene Forschungsprojekt liegt an der Schnittstell von M. Ludwigs, F.E. Schusters und M.N. Ivakis Expertise, nämlich Konvexgeometrie und Geometrische Flüsse. Zu den Arbeitsschwerpunkten von M. Ludwig und F.E. Schuster zählen affine isoperimetrische Ungleichungen und Anwendungen der affinen Konvexgeometrie auf partielle Differentialgleichungen. Daher ist die Integration des Antragsstellers in das Institut sehr natürlich und beide Seiten sollten vom Projekt stark profitieren. Die geplante Forschung für eine Post-Doc- Position für die Jahre 2014-2016 teilt sich in zwei Bereiche: Konvexgeometrie und Geometrische Flüsse. Der Antragsteller plant Hilfsmittel aus dem Bereich der Geometrischen Flüsse in der Konvexgeometrie anzuwenden und vice versa, um einige der wichtigsten offenen Probleme beider Gebiete, wie z. B. Andrews-Vermutung zu Gaußschen Krümmungsflüssen und Pettys vermutete Projektionenungleichung zu beweisen. Eine der Achsen des vorliegenden Forschungsplans besteht aus Ungleichungen und der Stabilität von Ungleichungen. Im Antrag wird beschrieben, wie man geometrische Flüsse und Hilfsmittel aus der Theorie der nicht-linearen parabolischen Differentialgleichungen verwenden kann, um Ungleichungen zu beweisen und wie man darüber hinaus Hilfsmittel wie Harnacks Abschätzung und displacement bounds verwenden kann, um die Stabilität von Ungleichungen zu erhalten. Es ist oft der Fall, dass eine Änderung einer geometrischen Größe in einer Ungleichung in Verbindung zu Minkowskis gemischter Volumsungleichung gesetzt werden kann, für die scharfe Stabilitätsresultate bereits bekannt sind. Die zweite Achse des vorliegenden Forschungsplans besteht darin neue Techniken für die Regularität der Lösungen im euklidischen Raum zu entwickeln. Der Antragsteller hat gemeinsam mit Alina Stancu festgestellt, dass einige Objekte der Konvexgeometrie wie polare konvexer Körper nützliche Hilfsmittel darstellen, um die Regularität von Lösungen für einige geometrische Flüsse zu erhalten. Daher ist es nur natürlich, weitere assoziierte konvexe Körper genau zu untersuchen und zu erforschen, ob diese ebenfalls zu neuen Techniken führen. Außerdem möchte der Antragsteller geometrische Flüsse in hyperbolischen und Riemannschen Räumen untersuchen, die von besonderem Interesse für Experten sind.

Im Laufe des Projektes haben wir einige neue Resultate erzielt. Ich erwähne nur die wichtigsten. Vom Projektleiter wurden neue Resultate in der konvexen Geometrie erzielt, und zwar bezüglich Operatoren, die konvexe Körper auf die jeweiligen i-Projektionen, ihre Iterationen und auf ihre zentrierten sowie polaren Körper abbilden. Unter bestimmten Bedingungen wurde gezeigt, dass die Fixpunkte des zweiten gemischten Projektionsoperators und die Iterationen der Projektions- und Zentrierungsoperatoren Bälle oder Ellipsoide sind. Insbesondere konnten somit einige offene Vermutungen in der konvexen Geometrie bewiesen werden. In der geometrischen Analysis wurden zusammen mit Dr. Paul Bryan und Dr. Julian Scheuer neue Methoden entwickelt. Wir konnten einige differentielle Harnack-Ungleichungen vom Euklidischen in allgemeinere Räume verallgemeinern. Solche Ungleichungen stellen nützliche Informationen für Lösungen von Krümmungsflüssen zur Verfügung und wir sind zuversichtlich, dass unsere Resultate eine breite Palette an Anwendungen bereithalten. Ebenso in Zusammenarbeit mit Dr. Paul Bryan und Dr. Julian Scheuer haben wir einen einheitlichen Zugang zur Behandlung des Lp-Minkowski-Problems gefunden. Dieser wurde bereits von anderen Forschern aufgegriffen und bei der Behandlung des Lp-Minkowski-Problems angewendet.