Geometrie von Differentialgleichungen

Das Projekt ist in der Differentialgeometrie, einem Teilgebiet der reinen Mathematik, angesiedelt. Ziel des Projekts ist die Erweiterung verschiedener grundlegender Techniken aus der Theorie einer Klasse geometrischer Strukturen, der sogenannten parabolischen Geometrien, mit dem Ziel, diese Methoden auf Fragen aus der geometrischen Theorie von Differentialgleichungen anzuwenden. Insbesondere sollen Differentialgleichungen charakterisiert werden, die der von E. Cartan eingeführten C-Klasse angehören. Differentialgleichungen in dieser Klasse können aufgrund spezieller Eigenschaften ihrer Invarianten ohne jegliche Integration gelöst werden. Technisch gesprochen, werden in dem Projekt Cartan Geometrien studieren, die nach homogenen Räumen von Lie Gruppen modelliert sind, die nicht halbeinfach sind. Während diese Geometrien nicht der Klasse der parabolischen Geometrien angehören, weisen sie doch analoge strukturelle Eigenschaften auf.

In diesem Projekt wurden moderne geometrische Werkzeuge zur Untersuchung und Charakterisierung einer Klasse von Differentialgleichungen von Élie Cartan in 1938 eingeführt. Jede Gleichung in dieser Klasse hat die faszinierende Eigenschaft, dass alle ihre Differentialinvarianten erste Integrale sind, das heißt, dass sie entlang Losungen konstant sind. Folglich haben generische Gleichungen hinreichend viele erste Integrale, und sie können im Prinzip algebraisch gelöst werden, also ohne Integration. Dies steht in Gegensatz zu den wohl-bekannten Symmetrie-basierte Methoden zur Lösung von Differentialgleichungen.