Periodische Quantengraphen und offene Wellenleiter

Das Projekt beschäftigt sich mit spektralen Eigenschaften von periodischen Quantengraphen und deren Störungen. Für ein Paar (G, H) wird der Name "Quantengraph" verwendet, wobei G ein metrischer Graph ist, d.h. eine Menge von Punkten (Knoten) und eine Menge von Segmenten (Kanten), die einige der Knoten verbinden, außerdem ist jeder Kante eine positive Länge zugeordnet, H ist ein selbstadjungierter Differentialoperator zweiter Ordnung auf G ("Hamiltonian"), der durch Differentialoperationen an den Kanten und Ubergangsbedingungen an den Ecken festgelegt ist. Quantengraphen dienen als natürliche Modelle der Wellenausbreitung in Systemen, die wie eine dünne Umgebungen eines Graphen aussehen. Periodische Quantengraphen haben in den letzten Jahren viel Aufmerksamkeit erhalten, vor allem aufgrund zahlreicher Anwendungen, wie z.B. Graphen- und Kohlenstoff-Nanostrukturen, oder photonische Kristalle. Das geplante Projekt soll neue Wege für ein besseres Verständnis der Spektraleigenschaften periodischer Quantengraphen und graphen-ähnlicher Strukturen schaffen, und auch untersuchen, wie sich ihr Spektrum in Anwesenheit von unbegrenzten Defekten ändert. Das Projekt besteht aus zwei Teilen. Der erste Teil widmet sich einem Problem, das in eine der traditionellen mathematisch-physikalischen Kategorien fällt und nach der Konstruktion von Differentialoperatoren mit vorgeschriebenen spektralen Eigenschaften fragt. Unser Ziel ist die Konstruktion eines periodischen Quantengraphen mit vorgeschriebenem Spektrum. Es wird angenommen, dass die kombinatorische Struktur des Graphen vorgegeben ist, und daher muss die erforderliche Struktur für das Spektrum durch eine geeignete Wahl der Kopplungsbedingungen an den Graphenknoten erreicht werden. Wie wir oben erwähnt haben, werden Quanten-Graphen verwendet, um realistische graphische Strukturen mit kleiner transversaler Größe zu modellieren. In diesem Zusammenhang werden wir ein ähnliches Problem für Laplace-Operatoren ansprechen, die auf Gebieten mit graphen-ähnlicher Geometrie betrachtet werden. Im zweiten Teil des Projektes wird untersucht, wie sich die spektralen Eigenschaften periodischer Quantengraphen ändern, wenn sie durch Einfügen eines "Defekt" (z. B. durch Ändern der Geometrie des zugrunde liegenden metrischen Graphen) gestört werden. Bisher wurde diese Situation nur episodisch und hauptsächlich für lokalisierte Defekte betrachtet. Im Gegensatz dazu untersuchen wir den Fall von nicht- lokalen Defekten, die durch eine unendliche Kette von Ecken und/oder Kanten unterstützt werden. Ziel ist es, das zusätzliche Spektrum zu erfassen und zu beschreiben, welches gegebenfalls in den Lücken des ungestörten Problems auftreten kann. Zur Erreichung der verfolgten Ziele werden wir in der Regel vergleichbare Methoden (Floquet-Bloch- Theorie, Werkzeuge aus der asymptotischen Analysis, das Birman-Schwinger-Prinzip, sowie Beziehungen zwischen den Spektren von Quantengraphen und bestimmten diskreten Graphen) kombinieren und auch abstraktere Methoden aus der Erweiterungs- und der Spektraltheorie von symmetrischen und selbstadjungierten Operatoren nutzen (z. B. Boundary Triple Techniken und abstrakte Titchmarsh-Weyl m- Funktionen). Durch Kombination mehrerer Ansätze wird eine vollständige Beschreibung der Spektralprobleme erwartet.