Unschärferelationen für nichtlineare Wellengleichungen

Im Falle von Differentialgleichungen spricht man von einer Unschärferelation wenn eine Lösung nicht zu zwei verschiedenen Zeiten sehr klein sein kann ausser sie verschwindet identisch. Ziel dieses Projekts ist es Eindeutigkeitsprinzipien (Unschärferelationen) für die Lösungen folgender Differentialgleichungen zu studieren: Kortewegde Vries (KdV), modified KdV (mKdV), CamassaHolm (CH), das Toda-Gitter (TL) und integrable nichtlineare Schrödinger (NLS) Gleichung. Diese Gleichungen spielen eine wichtige Rolle in der Physik. Die KdV- und mKdV- Gleichungen beschreiben das Verhalten langer Flachwasserwellen und die CH-Gleichung wurde 1993 eingeführt um das Brechen von Wellen zu modellieren, was mit der KdV- Gleichung nicht möglich ist. Die Toda-Gleichung ist ein einfaches Modell eines nichtlinearen eindimensionalen Kristalls mit Nächste-Nachbar-Wechselwirkung. Die lineare und nichtlineare Schrödingergleichungtreten bei der mathematischen Formulierung quantenmechanischer Systeme auf.Wir werdenfürdiese Gleichungen Eindeutigkeitsprinzipien herleiten und bekannte verbessern indem wir deren Voraussetzungen abschwächen. Zum Beispiel ist es unser Ziel, Lösungen zu betrachten, die nicht auf einer Halbachse kompakten Träger haben. Weiters ist es unser Ziel die Lösungen der nichtlinearen Schrödingergleichung auf Grafen zu charakterisieren von denen nur ein Teil bekannt ist und die Eindeutigkeitsprinzipien für die Schrödingergleichung auf Grafen mit einer netz-artigen Struktur auf zeitabhängige Potentiale zu übertragen. Diese Grafen bestehen aus einem inneren Teil mit endlich vielen Knoten und einer endlichen Anzahl halb-unendlicher Ketten die daran gekoppelt sind. Solche Systeme treten zum Beispiel beim Studium kleiner Oszillationen nahe einer Gleichgewichtslage auf.

Wir haben mehrere Unschärferelationen für verschiedenste partielle Differentialgleichungen (PDE) gefunden. Als einzelne Fälle haben wir PDEs untersucht, die eine wichtige Rolle in der Physik spielen: die Korteweg-de Vries (KdV) Gleichung und die modified KdV Gleichung, die das Verhalten von langen Wellen in seichten Wasser modellieren, und die nicht-lineare Schrödinger (NLS) Gleichung, die die mathematische Grundlage für Untersuchungen von quantum mechanische Systemen ist. Daher, was wir bewiesen haben, ist dass falls wir eine Lösung zu einer von diesen Gleichungen haben , die zu zwei verschiedenen Zeiten "zu klein" ist, dann ist die Lösung trivial. Das heißt, sie verschwindet zu jeder Zeit. Das ist was wir mit Unschärferelationen bezeichnen. Wir konnten auch solche Ergebnisse herleiten für mehr allgemeine PDEs. Diese Gleichungen müssen eine gewisse Form haben, die es ermöglicht dazu "scattering theory" anzuwenden. Das war eigentlich der Haupt Schritt um unser Ergebnis zu beweisen: wir mussten "scattering theory" und Methoden aus der Komplexen Analysis verbinden. Andere haben schon untersucht wie klein die "kleine" Lösung sein muss, aber sie haben es mit Methoden aus der Reellen Analysis gemacht. Unser Methode öffnet die Gelegenheit mehrere Unschärferelationen für andere Gleichungen zu finden.