Asymptotische Abschätzungen in der Konvexgeometrie

Das vorgeschlagene Forschungsprojekt liegt in der Schnittmenge der asymptotischen geometrischen Analysis mit der Konvexgeometrie. Teile der klassischen Theorie konvexer Körper spielt in der asymptotischen geometrischen Analysis schon lange eine wichtige Rolle. Im Laufe der Zeit entstand dadurch im Gegenzug eine asymptotische Sichtweise in der Konvexgeometrie. Unser Ziel ist es, mittels einer Kombination aus Methoden der Konvexgeometrie, Integralgeometrie und Wahrscheinlichkeitstheorie, asymptotisch exakte Versionen geometrischer und funktionaler Ungleichungen zu beweisen und so zur Untersuchung hochdimensionaler Körper beizutragen. Die Hauptrichtungen unserer Forschung sind: 1. Asymptotische Versionen noch offener affiner isoperimetrischer Ungleichungen. Wir werden affine Quermaßintegrale hochdimensionaler konvexer Körper einer systematischen Analyse unterziehen. Insbesondere sind wir an der asymptotischen Version einer Vermutung von Lutwak interessiert, welche besagt, dass affine Quermaßintegrale eines beliebigen konvexen Körpers isomorph durch die entsprechenden Quermaßintegrale der Euklidschen Kugel bestimmt sind. In einer früheren Arbeit des Antragstellers mit Paouris wurde gezeigt, dass die Vermutung zumindest bis auf einen multiplikativen Faktor des Logarithmus der Dimension stimmt. Das Ziel ist es nun, neue Methoden der Konvex- und Integralgeometrie zu verwenden, um bessere Abschätzungen, zumindest in Spezialfällen, zu erhalten. Konkret soll die Untersuchung der Volumenverteilung zufälliger Projektionen des regulären Simplex helfen wichtige neue Einsichten in die Problemstellung zu gewinnen. 2. Korrelations-Ungleichungen für Gaussche Zufallsvektoren. In weiterer Folge sollen die von Chen, Paouris und dem Antragsteller bewiesenen Korrelations-Ungleichungen genauer untersucht werden. Diese verallgemeinern die scharfe Young-Ungleichung, Nelsons Hyperkontraktivität, sowie deren umgekehrte Formen, und interpolieren zwischen Unabhängigkeit und der Hölder Ungleichung. Die starken Verbindungen dieser Ungleichungen mit den berühmten Brascamp-Lieb- und Barthe-Ungleichungen geben Hoffnung, dass sie ein wichtiges Werkzeug für den Beweis scharfer geometrischer Ungleichungen für hochdimensionale konvexe Körper bilden können. Wir planen über das Studium der Geometrie zulässiger Exponenten in diesen Korrelations-Ungleichungen zu neuen wichtigen Resultaten und schlussendlich einem besseren allgemeinen Verständnis zu gelangen. Weiters soll der Zusammenhang zwischen diesen Ungleichungen und einer umgekehrten Log-Sobolev Ungleichung von Paouris und dem Antragsteller ausgenutzt werden, um Letztere auf nicht log-konkave Funktionen zu erweitern.

Im Zuge dieses Projekts hatten wir die Möglichkeit, direkt an den neuesten Entwicklungen in diesem Forschungsgebiet zu arbeiten. Ziel war es, neue Werkzeuge aus der vorhandenen Maschinerie für Konvexität im Studium von höherdimensionalen konvexen Körpern einzubringen und vice versa. Wir beabsichtigten, asymptotische Versionen der klassischen Isoperimetrischen Ungleichungen betreffend die affinen Quermassintegrale eines konvexen Körpers im Rn zu zeigen, sowie bestimmte weitere Korrelationsungleichungen vom Brascamp-Lieb-Typ für Gaußsche Zufallsvektoren und deren Anwendungen in der Konvexgeometrie und der Analysis zu untersuchen. Wegen des frühen Ende des Projekts haben wir hauptsächlich am ersten Teil gearbeitet, während wir für den zweiten Teil vorbereitende Arbeit geleistet haben. Wir führten gemischte affine Orlicz-Quermassintegrale ein, eine neue Verallgemeinerung der affinen Quermassintegrale in Orlicz-Räumen. Unsere Arbeit wurde in Artikel [1] präsentiert, der zur Veröffentlichung eingereicht wurde. In diesem Artikel beschreiben wir diese neuen geometrischen Großen und beweisen deren Invarianz unter volumserhaltenden linearen Transformationen sowie deren starke Verbindung zu fundamentalen Ergebnissen in der Konvexgeometrie wie zum Beispiel den Ungleichungen von Brunn und Brunn- Minkowski. Unser Arbeitsumfeld am Institut für Diskrete Mathematik und Geometrie, und besonders die Zusammenarbeit mit der Forschungsgruppe von Professor Dr. F. Schuster, funktionierte ausgezeichnet. Wir glauben, dass beide Seiten signifikant von diesem Projekt, welches uns eine exzellente Forschungsumgebung und perfekte Bedingungen für unsere Arbeit ermöglicht hat, profitiert haben. 1 Paper, in which we present our work on Orlicz Mixed Affine Quermassintegrals, and it is available at https://arxiv.org/abs/1809.10006.