Algorithmen zur Lösung von Variationsungleichungen

Variationsungleichungen (VUs) stellen ein wichtiges mathematisches Modelle dar, das wichtige Konzepte der Angewandten Mathematik vereint. Viele Anwendungen der VUs, die mittels verallgemeinerten monotonen Operatoren formuliert werden können, haben in den letzten Jahrzehnten die Aufmerksamkeit der wissenschaftlichen Gemeinschaft auf sich gezogen. Mit diesem Projekt beabsichtigen wir, einen Durchbruch in der Formulierung von neuen numerischen Algorithmen mit guten Konvergenzeigenschaften, die zur Lösung von pseudo-monotonen VUs geeignet sind. Wir reichen einen Forschungsplan, der drei Hauptziele enthält. Das erste Projekt-Ziel betrifft neue Projektionsmethoden zur Lösung von pseudo-monotonen VUs. Die einzige bekannte iterative Methode, die bei der Lösung von pseudo-monotonen VUs eingesetzt werden kann, ist die sogenannte Extragradient-Methode, die in jeder Iteration (mindestens) zwei Projektionen erfordert. Die Berechnung von Projektionen ist allerdings sehr kostaufwändig für komplexe und großdimensionale Probleme. Es ist unser Ziel, deterministische und stochastische Projektionsverfahren zur Lösung von pseudo-monotonen VUs zu formulieren, die in jeder Iteration nur eine Projektion verlangen. Diese werden uns ermöglichen viel effizienter pseudo-konvexe Optimierungsaufgaben, die sehr oft in Anwendungen aus der Ökonomie vorkommen, numerisch zu lösen. Das zweite Ziel dieses Projektes sieht vor die Untersuchung von pseudo-monotonen VUs aus der Perspektive von Dynamischen Systemen, ein Thema das auch in der Theorie der Differentialgleichungen relevant ist. Insbesondere werden Fragen betreffend der Existenz und Eindeutigkeit sowie des asymptotischen Verhaltens der Trajektorien behandeln. Dynamische Systeme können mittels Zeitdiskretisierung zu neuen numerischen Verfahren zur Lösung von pseudo-monotonen VUs und pseudo-konvexen Optimierungsaufgaben führen. Im dritten Teil des Projektes sind Untersuchungen bezüglich der Konvergenzgeschwindigkeit der von den neuen Projektionsmethoden generierten Folgen von Iterierten und der von den neuen Dynamischen Systemen generierten Trajektorien zu einer Lösung der pseudo-monotonen VU vorgesehen. Zu diesem Zweck werden Ideen und Konzepte aus der Variationellen und Konvexen Analysis und der Theorie der Monotonen Operatoren, sowie Techniken aus der Stochastik eingesetzt.