Flüssige und kristalline Filme: Benetzung und Evolution

Das Ziel des Projekts besteht darin einen vereinheitlichten Ansatz um spannungsinduzierte Umlagerungsinstabilitäten, auf dem Substrat unterstützte epitaktische dünne Filme, Materialleeräume in elastischen Körpern und (kapillaren) Tropfen. Die zugehörigen variationellen Modelle werden sowohl im statischen als auch im evolutionären Fall behandelt. Der statische Fall beinhaltet die Auswertung der Regularität von Filmkonfigurationen im equilibrium und deren Kontaktwinkel-konditionen auf flachen (Youngs law) und rauen (Wenzel-Cassie-Baxter law) Substraten. Im evolutionären Fall werden verdampfung und kondensations Prozesse studiert indem wir die `minimizing-movement`-Methode angepasst wird um die damit verbundenden anistropen Film-Gleichungen zu lösen. Die Methodik kombiniert Techniken aus der Geometrischen Maßtheorie und der Variationsrechnung mit Methoden aus partiellen Differentialgleichungen. Im speziellen beinhaltet es Resultate der Theorie von Caccioppoli Mengen, (anisotropen) Minimalflächen, Gradientenflüsse, Homogenisierung, Relaxationstheorie als auch die Regularitätstheorie für partielle Differentialgleichungen, welche schon bei den Beweisen von vorläufigen Resultaten des Projekts getestet wurde. Die wissentschaftliche Auswirkung des Projekts besteht darin die Analysis von physikalischeren Situationen als diejenigen, die zurzeit in der Literatur vorhanden sind, zu ermöglichen. Als Beispiel versucht das Projekt künstliche und technische Annahmen wie sternförmigkeit oder zwei-dimensionalität fallen zu lassen. Zusätzlich werden bereits existierende Resultate über raue inhomogene substrate erweitert. Die Benetzbarkeit dieser Substrate wird durch eine Funktion dargestellt, die sowohl positive als auch negative Werte animmt. Letzlich aus mathematischer Sicht scheint es, dass die Resultate für die Evolution von Filmen mit der Kontakt-Winkel Kondition die ersten sind bei denen die `minimizing-movement`- Methode mit der Anwesenheit von Kraft- und Randwerten.

Das Projekt zielt darauf ab, ein Variationsmodell zu untersuchen, das sowohl elastische als auch Oberflächenenergien anzeigt und gleichzeitig die verschiedenen möglichen spannungsgetriebenen Umlagerungsinstabilitäten (SGUI) berücksichtigt. SGUI umfasst all jene Materialmorphologien wie Grenzunregelmäßigkeiten, Risse, Filamente, Benetzung und Entnetzung, Delaminationen, Sprödbrüche und andere Oberflächenmuster, die ein kristallines Material in Gegenwart äußerer Kräfte aufweisen kann, wie beispielsweise chemische Bindung mit angrenzenden Materialien. Das Modell bietet eine einheitliche mathematische Behandlung von epitaktisch belasteten Dünnschichten, Kristallhohlräumen, kapillaren Tröpfchen sowie Griffith- und einigen Versagensmodellen, die zuvor in der Literatur separat behandelt wurden. Darüber hinaus wird die Möglichkeit der Delamination und Debonding -- rissartige Formen des Grenzflächenversagens an der Grenzfläche zum Substrat, gemäß den analogen Modellen in der Literatur behandelt, die durch eine erneute Betrachtung in der Variationsperspektive der Bruchmechanik eingeführt wurden. Folglich hängt die Oberflächenenergie von den zulässigen Verformungen ab und kann nicht von der elastischen Energie entkoppelt werden. Als Nebenprodukt unserer Analyse erweitern wir frühere Ergebnisse zur Existenz minimaler Konfigurationen auf anisotrope Oberflächenenergien und elastische Energien und lockern die zuvor angenommenen Beschränkungen für zulässige Konfigurationen in den Dünnfilm- und Kristallhohlraumeinstellungen. Für unser SGUI-Modell werden die bisher für die Dünnfilm- oder Kristallhohlraumeinstellungen berücksichtigten graphenähnlichen Einschränkungen nicht mehr benötigt. Darüber hinaus werden frühere Ergebnisse in der Literatur auf raue inhomogene Substrate ausgedehnt, die eine Benetzbarkeit aufweisen, ausgedrückt durch eine Funktion, die sowohl positive als auch negative Werte zulässt. Um die Hauptergebnisse zu beweisen, adaptieren und/oder verallgemeinern wir verschiedene Methoden aus der geometrischen Maßtheorie und der Variationsrechnung. Auch für andere Modelle für SGUI (etwa in den Dirichlet-Einstellungen oder Graph-Typ-Einstellungen) können die Beweise nicht direkt aus den in der Literatur vorliegenden Ergebnissen geschlossen werden.