Galoisgruppen von Differentialgleichungen

Dieses Projekt trägt dazu bei, die algebraischen Eigenschaften von linearen Differentialgleichungen besser zu verstehen. Hierbei liegt das Hauptaugenmerk auf Differentialgleichungen, deren Koeffizienten rationale Funktionen sind. Lineare Differentialgleichungen sind in den Naturwissenschaften und im Ingenieurwesen allgegenwärtig. Um mit den Lösungen von linearen Differentialgleichungen symbolisch rechnen zu können, muss man die algebraischen Relationen zwischen den Lösungen verstehen. Die algebraischen Relationen zwischen den Lösungen einer gegebenen linearen Differentialgleichung werden durch eine lineare algebraische Gruppe beherrscht, der sogenannten Differentialgaloisgruppe der linearen Differentialgleichung. Alle Differentialgaloisgruppen von allen linearen Differentialgleichungen mit rationalen Koeffizienten werden in der absoluten Differentialgaloisgruppe des Körpers der rationalen Funktionen zusammengefasst. Das Hauptziel dieses Projekts ist es, eine explizite Beschreibung dieser Gruppe zu finden. In der Tat glauben wir, dass eine Vermutung von Professor B.H. Matzat zutreffend ist: Die absolute Differentialgaloisgruppe des Körpers der rationalen Funktionen ist eine freie proalgebraische Gruppe und die Anzahl der Erzeuger dieser freien proalgebraischen Gruppe stimmt mit der Kardinalität des Koeffizientenkörpers der rationalen Funktionen überein. Die absolute Differentialgaloisgruppe eines Differentialkörpers ist das differentielle Analogon der absoluten Galoisgruppe eines Körpers. Ein Satz von A. Douady, F. Pop und D. Harbater besagt, dass die absolute Galoisgruppe eines rationalen Funktionenkörpers eine freie proendliche Gruppe ist. Die Vermutung von Professor Matzat verallgemeinert diese Aussage. Wichtige Methoden, die in diesem Projekt verwendet werden, sind Patching und Einbettungsprobleme. Unser Plan, Matzats Vermutung zu beweisen, besteht aus zwei Schritten. Im ersten Schritt soll eine Charakterisierung von freien proalgebraischen Gruppen mit Hilfe von Einbettungsproblemen gefunden werden. Im zweiten Schritt soll dann gezeigt werden, dass die absolute Differentialgaloisgruppe des Körpers der rationalen Funktionen diese Charakterisierung erfüllt. Für diesen zweiten Schritt soll die Methode des Patching verwendet werden.

Durch dieses Projekt konnten algebraische Eigenschaften von linearen Differentialgleichungen besser verstanden werden. Hierbei lag das Hauptaugenmerk auf Differentialgleichungen, deren Koeffizienten rationale Funktionen sind. Lineare Differentialgleichungen sind in den Naturwissenschaften und im Ingenieurwesen allgegenwärtig. Um mit den Lösungen von linearen Differentialgleichungen symbolisch rechnen zu können, muss man die algebraischen Relationen zwischen den Lösungen verstehen. Die algebraischen Relationen zwischen den Lösungen einer gegebenen linearen Differentialgleichung werden durch eine lineare algebraische Gruppe beherrscht, der sogenannten Differentialgaloisgruppe der linearen Differentialgleichung. Hierbei versteht man unter einer linearen algebraischen Gruppe eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe, die durch das Verschwinden von Polynomen in den Matrixeinträgen beschrieben ist. Alle Differentialgaloisgruppen von allen linearen Differentialgleichungen mit rationalen Koeffizienten werden in der absoluten Differentialgaloisgruppe des Körpers der rationalen Funktionen zusammengefasst. Das Hauptziel dieses Projekts war es, eine explizite Beschreibung dieser Gruppe zu finden. In der Tat konnten wir zeigen, dass eine Vermutung von Professor B.H. Matzat zutreffend ist: Die absolute Differentialgaloisgruppe des Körpers der rationalen Funktionen ist eine freie proalgebraische Gruppe und die Anzahl der Erzeuger dieser freien proalgebraischen Gruppe stimmt mit der Kardinalität des Koeffizientenkörpers der rationalen Funktionen überein. Die absolute Differentialgaloisgruppe eines Differentialkörpers ist das differentielle Analogon der absoluten Galoisgruppe eines Körpers. Ein Satz von A. Douady, F. Pop und D. Harbater besagt, dass die absolute Galoisgruppe eines rationalen Funktionenkörpers eine freie proendliche Gruppe ist. Die Vermutung von Professor Matzat verallgemeinert diese Aussage. Unsere Lösung von Matzat's Vermutung hat weitreichende Anwendungen in der Differentialgaloistheorie. Zum Beispiel, liefert Matzat's Vermutung eine qualitativ verschärfte Lösung des inversen Problems der Differentialgaloistheorie. Die Lösung des inversen Problems besagt, dass jede lineare algebraische Gruppe als Differentialgaloisgruppe über dem Körper der rationalen Zahlen auftritt. Matzat's Vermutung impliziert die stärkere Aussage, dass jede nicht-triviale lineare algebraische Gruppe auf viele verschieden Arten auftritt, und zwar genau auf so viele verschiedene Arten wie der Koeffizientenkörper der rationalen Funktionen Elemente hat. Wichtige Methoden, die in diesem Projekt verwendet und weiterentwickelt wurden, sind Patching, Einbettungsprobleme und Spezialisierungsresultate für Differentialgaloisgruppen. Unser Beweis von Matzats Vermutung besteht aus zwei Schritten. Im ersten Schritt wird eine Charakterisierung von freien proalgebraischen Gruppen mit Hilfe von Einbettungsproblemen gefunden. Im zweiten Schritt wird gezeigt, dass die absolute Differentialgaloisgruppe des Körpers der rationalen Funktionen diese Charakterisierung erfüllt. Dieser zweite Schritt ist abhängig von Kardinalität und Transzendenzgrad des Grundkörpers leichter oder schwieriger. Der schwierigste Fall ergibt sich, wenn der Grundkörper endlichen Transzendenzgrad hat. Für diesen Fall mussten Spezialisierungsresultate für Differentialgaloisgruppen entwickelt werden, welche über dieses Projekt hinaus von Bedeutung sind. Basierend auf einem Analogon der Satzen von Nielsen-Schreier for freie proalgebraische Gruppen, konnten wir zeigen dass Matzat's Vermutung auch für nicht notwendigerweise rationale Funktionenkörper in einer Variable gültig bleibt.