Grassmannsche Cluster-Kategorien und Zopfgruppen

Das vorgeschlagene Projekt ist in zwei Forschungsgebieten der aktuellen Forschung der reinen Mathematik angesiedelt: Darstellungstheorie und Clusteralgebren. Darstellungstheorie ist ein Bereich der Mathematik, der Module über Algebren studiert. Er hat viele tiefe Verbindungen mit der mathematischen Physik, mit der Zahlentheorie und mit Geo- metrie. Clusteralgebren wurden von Fomin und Zelevinsky am Anfang dieses Jahrhunderts eingeführt. Clusteralgebren finden sich in verschiedenen Kontexten der Mathematik und Physik, wo sie eine wichtige Rolle einnehmen. Poisson Geometrie, Darstellungstheorie, Teichmüller Theorie, BPS- Zustände, Streuamplituden. Genauer gesagt werden wir an folgenden Problemen arbeiten. 1. Untersuchung der Kategorifizierung der Clusteralgebra-Struktur auf den Koordinatenringen von Grassmannschen Varietäten. 2. Suche nach der Konstruktion neuer Zopfgruppen. Solche neuen Konstruktonen sind wichtig beim Studium von flachen Deformationen von symmetrischen Algebren und von Nichols Alge- bren. Auf dem Weg durch dieses ehrgeizige Projekt werden wir verschiedene Programmierwerkzeu- ge, Algorithmen und theoretische Ergebnisse nutzen. Wir planen diese Forschung in enger Zusammenarbeit mit Professor K. Baur sowie Professoren A. Berenstein, J. Greenstein.

Clusteralgebren wurden um 2000 von Fomin und Zelevinsky eingeführt. Clusteralgebren spielen eine wichtige Rolle in verschiedenen Bereichen der Mathematik und Physik. Ein Thema des Projekts ist die Untersuchung von Grassmannschen Clusterkategorien. Wir haben starre, unzerlegbare Module in die Kategorie der Grassmannschen Cluster eingeordnet. Wir haben auch die Beziehung zwischen Darstellungen von quantenaffinen Algebren und Grassmann-Operatoren untersucht. Ein weiteres Thema des Projekts ist die Zopfgruppe. Unter Verwendung der Yang-Baxter-Gleichung und des Ansatzes für die Baxterisierung der Modelle haben wir 4-CB-Algebren eingeführt, die analog zu BMW-Algebren sind. Wir untersuchten auch Präsentationen von Booleschen Reflexionsmonoiden unter Verwendung von Köchermutationen.