Approximation von Transmissionseigenwerten mit hoher Ordnung

Dieses Projekt befasst sich mit der Untersuchung numerischer Methoden höherer Ordnung, um Transmissionseigenwerte, bzw. Frequenzen, mit hoher Genauigkeit effizient zu berechnen. Das Transmissionseigenwertproblem ist von besonderem Interesse für die Wohlgestelltheit des inversen Problems des Helmholtz-Streuungsproblems. Die Helmholtz- Gleichung beschreibt die Ausbreitung von Wellen. Bei dem inversen Problem ist man daran interessiert, die Eigenschaften des Streuobjekts aus der gemessenen gestreuten Welle zu bestimmen. Dabei können die Transmissionseigenwerte dazu verwendet werden, Schranken für den Brechungsindex des Streuobjekts zu berechnen. Der Brechungsindex beschreibt, wie stark eine Welle gebogen oder gebrochen wird, wenn sie in das Streuobjekt eintritt. Der Brechungsindex hängt dabei von der Dichte des Streuobjekts ab. Daher ist die effiziente numerische Berechnung von Transmissionseigenwerten mit hoher Genauigkeit sowohl für die mathematische Theorie als auch in praktischen Anwendungen von großem Interesse. Da das Transmissionseigenwertproblem ein unsymmetrisches Eigenwertproblem vierter Ordnung ist, ist es vom numerischen Standpunkt aus sehr anspruchsvoll. Ich werde spezielle nichtkonforme Finite Elemente Methoden untersuchen, die sich leichter auf hohe Polynomgrade verallgemeinern lassen als konforme Finite Elemente. Bisher wurden nur Methoden niedrigerer Ordnung in Betracht gezogen, so dass diese Methoden höherer Ordnung zu einem großen Fortschritt bei der Berechnung von Transmissionseigenwerten führen werden. Da Methoden höherer Ordnung eine zusätzliche Netzverfeinerung hin zu den Ecken des Gebietes erfordern, werde ich adaptive Algorithmen untersuchen, die basierend auf einem Fehlerschätzer automatisch die lokale Netzgröße und den lokalen Polynomgrad bestimmen. Zu diesem Zweck werde ich, zwei verschiedene Fehlerschätzer untersuchen, einer wird auf der Berechnung von Normalen-Sprüngen der Ableitungen über Elementkanten hinweg basieren, und ein anderer wird eine kürzlich präsentierte Technik nutzen, die auf der Lösung kleiner lokaler Hilfsprobleme im gemischten Finite Elemente Raum von Hellan- Herrmann-Johnson basiert. Beide Fehlerschätzer werden zu einem automatisierten Algorithmus führen, der Transmissionseigenwerte effizient mit hoher Genauigkeit berechnet. Da die meiste Zeit zur Berechnung der Transmissionseigenwerte für die Lösung des Matrixeigenwertproblems aufgewendet wird, werde ich ein effizientes Kriterium zum Stoppen des iterative Eigenwertlöser entwickeln. Dies wird zusätzlich die numerische Berechnung von Transmissionseigenwerten beschleunigen.

In diesem Lise-Meitner-Projekt wurden adaptive numerischer Methoden höherer Ordnung untersucht, um Frequenzen mit hoher Genauigkeit effizient zu berechnen. Wegen der Rufannahme auf eine Professur an die Universität Bonn wurde das Projekt vorzeitig beendet.