Stochastische Kapilarität auf glatten Mannigfaltigkeiten

Gegenstand dieses Forschungsprojektes ist eine eingehende Analyse einer Familie von partiellen Differenti- algleichungen, die eine zentrale Rolle in der Modellierung vielfältiger natur- und sozialwissenschaftlicher Phänomene einnehmen (z.B. Flüssigkeitsbewegung in porösen Medien, unidirektionale Ausbreitung disper- siver Wellen, Populationsdynamik). Das Projekt besteht aus zwei Teilen. Im ersten wollen wir die oben genannten Phänomene im Rahmen der Riemann-Geometrie modellieren. Verglichen mit jüngsten Resultaten im euklidischen Fall wird dies die Entwicklung neuer sowie eine umfassende Neuinterpretation bestehender Konzepte erfordern. Es wird erfor- derlich sein, neue Zugänge zur Betrachtung verschwindender Kapillarität auf Mannigfaltigkeiten zu finden, ebenso wie Methoden zur Analyse von quasi-linearen pseudo-parabolischen Gleichungen auf Mannigfaltig- keiten. Der zweite Teil des Projektes ist der Entwicklung eines noch realistischeren Modelles gewidmet, bei dem auch stochastische Elemente in die Analyse einbezogen warden. Noch mehr als im ersten Teil müssen hier neue mathematische Werkzeuge entwickelt warden. Dies betrifft insbesondere Varianten des sogenannten velocity averaging Lemmas sowie die Theorie der mikrolokalen Defekt-Maße (H-Maße), die an den stochas- tischen Zugang angepasst warden müssen Abgesehen vom zu erwartenden Fortschritt im Verständnis der physikalischen Prozesse, die diesen Glei- chungen zugrunde liegen, gehen wir davon aus, dass das Projekt zu einer vielversprechenden Synthese zwi- schen bisher unabhängigen Theorien führen wird, in diesem Fall der Theorie der skalaren Erhaltungssätze, der Riemanngeometrie und der Stochastik. Eine Hauptmotivation des Antrages liegt in experimentellen Befunden, die die Unzulänglichkeit der beste- henden Modelle zur Beschreibung von Flussphänomenen in porösen Medien belegen. Im Idealfall könnten unsere Arbeiten zu einer neuen (nicht-Kruzhkov) Halbgruppe von Lösungen skalarer Erhaltungssätze führen, was einen fundamental neuen Zugang zur Theorie der skalaren Erhaltungssätze mit regulärem Fluss darstel- len würde. Das Kernteam des Projektes besteht für den ersten Teil aus Darko Mitrovic and Michael Kunzinger, während es für den zweiten (stochastischen) Teil durch Kenneth Karlsen verstärkt warden wird. Die Zusammenarbeit mit Prof. Karlsen wird es uns ermöglichen, sehr allgemeine Probleme in diesem Bereich zu behandeln, ins- besondere stochastic forcing und stochastischen Fluss. Darüber hinaus wird er uns in der numerischen Ana- lyse der Theorie auf Mannigfaltigkeiten unterstützen.

Im Rahmen des Projekts untersuchten wir partielle Differentialgleichungen (PDEs), die verschiedene Naturphänomene entlang nicht ebener Oberflächen unter Berücksichtigung stochastischer Effekte modellieren. Wir waren in der Lage, die Existenz von Lösungen für solche Arten von PDEs nachzuweisen und somit zu bestätigen, dass die Modelle richtig aus physikalischen Gesetzen abgeleitet und daher nützlich waren. Im Laufe der Beweise haben wir verschiedene Techniken entwickelt, die auf eine viel breitere Klasse von Gleichungen angewendet werden können. Besonders hervorheben möchten wir die Geschwindigkeitsmittelungsergebnisse für die Transportgleichung mit stochastischem Antrieb. Dies schien eine unerwartet herausfordernde Aufgabe zu sein, die uns zwang, tief in die stochastische Analyse einzusteigen und das Problem in einem geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum durch die Skorokhod-Jakubowski-Theorie neu zu formulieren. Das Ergebnis ist nicht trivial und stellt eine wesentliche Neuheit auf diesem Gebiet dar. Wir mussten auch originelle Methoden aus der Theorie der mikrolokalen Defektmessungen entwickeln. Im Rahmen der stochastischen Analyse bringt die Zeitvariable nämlich mehrere technische Hindernisse mit sich. Die wichtigste wird als Ableitung der Funktionszusammensetzung angesehen, bei der das Ito-Lemma anstelle der Standardformel verwendet werden muss. Darüber hinaus führt das Vorhandensein des Wiener-Maßnahme zu subtilen Messbarkeitsproblemen und es war nicht möglich, den Ansatz einfach aus dem deterministischen Umfeld heraus zu adaptieren. Schließlich drängte die Tatsache, dass wir Gleichungen auf Mannigfaltigkeiten (d. h. nicht flachen Medien) betrachten, zu einer nicht trivialen Neuableitung von Ergebnissen und Eigenschaften, die aus dem euklidischen Fall bekannt sind. Wir glauben daher, dass die entwickelten Methoden und erzielten Ergebnisse einen wesentlichen Beitrag auf dem Gebiet der stochastischen Evolutionsgleichungen (und insbesondere der stochastischen skalaren Erhaltungssätze) auf Mannigfaltigkeiten, aber auch in der euklidischen (flachen) Standardumgebung darstellen.