Viskoelastische Inverse Probleme: Seismik und Medizin

Ziel dieses Projekts ist die Entwicklung effizienter Algorithmen zur Bestimmung physikalischer Parameter eines Mediums. Besonderes Interesse gilt Eigenschaften, welche nicht direkt messbar sind, wie beispielsweise solchen der Erdkruste (seismische Tomographie) oder der inneren Organe von Patienten (bildgebende Verfahren in der Medizin). Aufschluss über die Materialeigenschaften im Inneren eines Körpers können durchdringende Wellen geben, da diese immer auch Informationen über das Medium transportieren, in dem sie sich ausbreiten. Als Beispiel betrachte man Wellen, die infolge eines Erdbebens entstehen. Nachdem diese das Erdinnere durchwandert haben, werden sie an der Erdoberflche aufgezeichnet. Anhand solcher Aufzeichnungen versucht man in weiterer Folge den Untergrund (die Erdkruste, aber auch tiefere Schalen) zu charakterisieren. Ein Beispiel aus der Medizin ist die Röntgendiagnostik, bei der Röntgenstrahlen außerhalb des Patienten gemessen werden um Absorptionskoeffizienten im Körperinneren zu errechnen. In Zukunft kann man erwgen Gravitationswellen aufzuzeichnen um Aufschluss über gewisse Eigenschaften des Universums zu erhalten. Um in ein Medium ``hineinsehen`` zu können, müssen die induzierten Wellen die geeignete Wellenlnge haben. So können Röntgenstrahlen zwar den menschlichen Körper durchdringen aber nicht massive Materialien wie beispielsweise Gestein, für welches sich seismische (mechanische) Wellen wesentlich besser eignen. Nach Messung der Wellen wird das durchdrungene Material mittels numerischer Simulation rekonstruiert. Hier ist ein realistisches Modell des zugrundeliegenden Mediums erforderlich um die Materialeigenschaften extrahieren zu können. Zum Beispiel wird in der Sonographie (Ultraschall) üblicherweise angenommen, dass der Körper im Wesentlichen aus Wasser besteht. Gngige bildgebende Verfahren in der Seismologie hingegen beruhen auf der Annahme eines linear elastischen Materials. In diesem Projekt sollen viskose Materialien (Teile der Erde oder medizinische Proben) betrachtet werden. Derartige Materialien sind weniger elastisch und neigen zur Faltenbildung. Da sowohl mathematische Behandlung als auch numerische Simulation deutlich komplexer ausfallen als bei elastischen Materialien (die keine Falten bilden), ist es schwieriger in derartige Medien mittels rechnerischer Methoden ``hineinzusehen``. Die Rekonstruktion erfordert somit nicht nur effiziente und innovative numerische Ansätze (Optimierungsmethoden, Einsatz von Supercomputern) sondern auch adäquate mathematische Modellierung und Analyse, welche den Kern unserer Forschung bilden. Dieses Projekt wird an der Fakultät für Mathematik der Universität Wien von Dr. Florian Faucher durchgeführt und von Prof. Otmar Scherzer betreut.