Moderne Geometrie, Reinheit der Methode und Abstraktion

Das Ziel dieses Projekts ist es, eine Reihe von historischen, philosophischen und mathematischen Problemen in Bezug auf ein zentrales Programm in der modernen axiomatischen Geometrie zu untersuchen, das auf die Beseitigung von Zahlen aus den Grundlagen der Geometrie abzielte. Historisch gesehen ist die einflussreichste Einzelarbeit dieses Forschungsprogramms David Hilberts Axiomatisierung der euklidischen Geometrie, die in Grundlagen der Geometrie (1899) vorgestellt wurde. Philosophisch zielte das Programm darauf ab, neue Antworten auf ein altes Problem in der Philosophie der Geometrie zu geben, d.h. die Rolle zu definieren, die Zahlen bei der Grundlage der Geometrie spielen müssen. Dieses Projekt hat drei Hauptziele. Das erste Hauptziel ist es, dazu beizutragen, eine Lücke in der Geschichte der modernen Geometrie zu schließen: Dazu soll das Programm der "Geometrisierung der Geometrie", wie ich die Forschungsbewegung nennen möchte, welche auf die Beseitigung der numerischen Überlegungen aus den Grundlagen der Geometrie abzielte, zum ersten Mal systematisch untersucht werden. Im Einzelnen wird der Fokus auf eine Reihe wichtiger und innovativer geometrischer Entwicklungen sowie deren philosophische Konsequenzen und Grundlagen gelegt. Dies beinhaltet auch eine Neubewertung der Unterscheidung zwischen analytischer und synthetischer Geometrie, d.h. zwischen streng geometrischen und algebraischen Argumentationsstilen in der Geomeitre. Das zweite Hauptziel des Projekts ist es, die bisherige Untersuchung dieser wichtigen Tradition in der modernen Geometrie mit einer allgemeineren und systematischeren Diskussion des Problems der Reinheit der Methode im Kontext des geometrischen Denkens zu artikulieren. Grob gesagt, ist mit Reinheit der Methode das Bestreben gemeint, für den Beweis eines Theorems einer bestimmten mathematischen Disziplin nur solche Mittel zuzulassen, welche sich direkt aus dieser Disziplin ergeben, und beispielsweise Hilfslemmas aus benachbarten Disziplinen zu vermeiden. Das Projekt wird eine detaillierte Analyse der Anwendung dieses zentralen methodischen Prinzips innerhalb des modernen Programms liefern, das die Beseitigung von Zahlen aus der Geometrie verfolgte. Schließlich ist das dritte Hauptziel des Projekts, die historische und philosophische Bedeutung dieses grundlegenden Programms in der modernen Geometrie weiter zu erforschen, indem seine Relevanz und sein Potenzial für aktuelle Untersuchungen zu Abstraktion und Abstraktionsprinzipien in der zeitgenössischen Philosophie der Mathematik untersucht werden. Unter Abstraktionsprinzipien versteht man Schemata, durch welche konkrete mathematische Entitäten mit Hilfe einer Äquivalenzrelation zusammengefasst und so neue abstrakte Entitäten definiert werden. Das vorliegende Projekt wird zu aktuellen Untersuchungen über die Methode der Abstraktion in der modernen Geometrie beitragen, indem es die Anwendung dieser mathematischen Technik in dem hier untersuchten geometrischen Programm ausführlich beschreibt.

Das Ziel dieses Projekts ist es, eine Reihe von historischen, philosophischen und mathematischen Problemen in Bezug auf ein zentrales Programm in der modernen axiomatischen Geometrie zu untersuchen, das auf die Beseitigung von Zahlen aus den Grundlagen der Geometrie abzielte. Historisch gesehen ist die einflussreichste Einzelarbeit dieses Forschungsprogramms David Hilberts Axiomatisierung der euklidischen Geometrie, die in Grundlagen der Geometrie (1899) vorgestellt wurde. Philosophisch zielte das Programm darauf ab, neue Antworten auf ein altes Problem in der Philosophie der Geometrie zu geben, d.h. die Rolle zu definieren, die Zahlen bei der Grundlage der Geometrie spielen müssen. Dieses Projekt hat drei Hauptziele. Das erste Hauptziel ist es, dazu beizutragen, eine Lücke in der Geschichte der modernen Geometrie zu schließen: Dazu soll das Programm der "Geometrisierung der Geometrie", wie ich die Forschungsbewegung nennen möchte, welche auf die Beseitigung der numerischen Überlegungen aus den Grundlagen der Geometrie abzielte, zum ersten Mal systematisch untersucht werden. Im Einzelnen wird der Fokus auf eine Reihe wichtiger und innovativer geometrischer Entwicklungen sowie deren philosophische Konsequenzen und Grundlagen gelegt. Dies beinhaltet auch eine Neubewertung der Unterscheidung zwischen "analytischer" und "synthetischer" Geometrie, d.h. zwischen streng geometrischen und algebraischen Argumentationsstilen in der Geomeitre. Das zweite Hauptziel des Projekts ist es, die bisherige Untersuchung dieser wichtigen Tradition in der modernen Geometrie mit einer allgemeineren und systematischeren Diskussion des Problems der "Reinheit der Methode" im Kontext des geometrischen Denkens zu artikulieren. Grob gesagt, ist mit "Reinheit der Methode" das Bestreben gemeint, für den Beweis eines Theorems einer bestimmten mathematischen Disziplin nur solche Mittel zuzulassen, welche sich direkt aus dieser Disziplin ergeben, und beispielsweise Hilfslemmas aus benachbarten Disziplinen zu vermeiden. Das Projekt wird eine detaillierte Analyse der Anwendung dieses zentralen methodischen Prinzips innerhalb des modernen Programms liefern, das die Beseitigung von Zahlen aus der Geometrie verfolgte. Schließlich ist das dritte Hauptziel des Projekts, die historische und philosophische Bedeutung dieses grundlegenden Programms in der modernen Geometrie weiter zu erforschen, indem seine Relevanz und sein Potenzial für aktuelle Untersuchungen zu Abstraktion und Abstraktionsprinzipien in der zeitgenössischen Philosophie der Mathematik untersucht werden. Unter Abstraktionsprinzipien versteht man Schemata, durch welche "konkrete" mathematische Entitäten mit Hilfe einer Äquivalenzrelation zusammengefasst und so neue "abstrakte" Entitäten definiert werden. Das vorliegende Projekt wird zu aktuellen Untersuchungen über die Methode der Abstraktion in der modernen Geometrie beitragen, indem es die Anwendung dieser mathematischen Technik in dem hier untersuchten geometrischen Programm ausführlich beschreibt.