QUENCHED GRENZWERTSÄTZE FÜR RANDOM DYNAMISCHE SYSTEME

Das vorgeschlagene Projekt betrifft das Studium statistischer Eigenschaften einer breiten Klasse von zeitdiskreten zufälligen dynamischen Systemen, welche unter anderem Systeme beinhalten, die sich aus mechanischen oder biologischen Anwendungen ergeben. Die Evolution der zufälligen dynamischen Systeme ist durch die Verkettung von Abbildungen gegeben, die aus einer gegebenen Familie zufällig gewählt werden. Im Gegensatz zu deterministischen Systemen, bei denen das Entwicklungsgesetz vorgegeben ist, ändert dieses sich hier mit jedem Schritt. Dadurch wird der Umstand modelliert, dass zufällige Einflüsse auf das System wirken. Die hier betrachteten Systeme sind von Natur aus chaotisch, insbesondere hängt die Evolution stark von den Anfangsbedingungen ab, d.h. dass die Orbits, die von nahe gelegenen Punkten starten, sich in dramatischer Weise voneinander entfernen können. Diese Eigenschaft kompromittiert das Studium der exakten Orbits und macht einen statistischen Zugang notwendig. Das quenched-Framework, das Studium der Evolution fast jeder zufälligen Realisierung, bildet die Grundlage der vorliegenden Arbeit. Das Ziel des vorgeschlagenen Projektes ist es, einen exakten mathematischen Rahmen für das Studium der oben beschriebenen Systeme zu entwickeln. Es stellt sich heraus, dass chaotische Systeme enge Beziehungen zu zufälligen Prozessen wie Münzwürfen haben: die Ausgänge sind zufällig, aber statistisch vorhersagbar. Wenn man beispielsweise eine faire Münze unendlich oft wirft, dann wird man Kopf und Zahl bei jeweils die Hälfte der Würfe erhalten. Allerdings sind für praktische Anwendungen solche schönen mathematischen Resultate nicht ausreichend. Man möchte im Regelfall quantitative Resultate, die angeben wie schnell die statistischen Resultate erreicht werden, wenn man die Anzahl der Experimente erhöht. Resultate dieser Art erlauben Abschätzungen der Abweichungen vom Erwartungswert der Experimente mit zunehmender Experimentanzahl. Ein weiteres Ziel des vorliegenden Projektvorschlages ist es statistische Grenzwertsätze zu beweisen, die verschiedene quantitative Resultate der beschriebenen Art für eine große Klasse zufälliger dynamischer Systeme implizieren würden. Seit den 1960er Jahren hat das Studium der statistischen Eigenschaften von Dynamischen Systemen Mathematiker und Anwender, insbesondere Physiker, angezogen. Natürlicherweise begannen diese Untersuchungen mit einfachen Modellen (toy-models) und wurden schrittweise auf realistischere Systeme ausgedehnt. Das vorliegende Projekt ist ein weiterer Schritt in diese Richtung. Die wesentliche Neuerung ist, dass die vorgeschlagenen Grenzwertsätze sich besser auf reale Systeme anwenden lassen, da in der Praxis vorkommende Systeme immer durch zufällige Einflüsse gestört sind und man außerdem nur endlich viele Beobachtungen eines realen dynamischen Systems machen kann. Daher ist das beschriebene statistische Studium von fast allen Pfaden von dynamischen Systemen nützlich für praktische Anwendungen und wird relevante Resultate für realistische physikalische Systeme liefern.

Im Projekt haben wir chaotische Systeme untersucht, die zufälligen Störungen unterliegen. Insbesondere haben wir Mischungsraten für Systeme ermittelt, die realistischeren Modellen näherkommen. Unsere Ergebnisse deuten darauf hin, dass in vielen Fällen Beobachtungen über diese Modelle sich wie Münzwürfe verhalten: zufällig, aber statistisch vorhersagbar. Dies bestätigt unsere Hypothese im Projekt. Die Ergebnisse wurden in Forschungsarbeiten veröffentlicht, die mit dem Projekt in Verbindung stehen.