Asymptotische Herleitung von Diffusionsmodellen fürMischgase

Projekt M3007N Asymptotische Herleitung von Diffusionsmodellen für Mischgase Abstrakt Das zweite Newtonsche Bewegungsgesetz, die Boltzmann-Gleichung und die Euler- und Navier- Stokes-Modelle beschreiben auf unterschiedlichen physikalischen Skalen das gleiche zugrunde liegende Phänomen, die Wechselwirkung zwischen Teilchen. Die mathematische Kohärenz zwischen diesen drei Regimen (mikroskopisch, mesoskopisch und makroskopisch) zu verstehen, ist Teil des bekannten sechsten Hilbertschen Problems, das im Laufe des letzten Jahrhunderts eine Vielzahl grundlegender Ergebnisse hervorbrachte und auch heute noch ein fruchtbares und aktives Forschungsgebiet ist. Ausgehend von einer mesoskopischen Formulierung wollen wir eine Hierarchie von Mehrspezien- Fluidgleichungen für monoatomare, nicht-reaktive Gemische erstellen, um die Regime ihrer math- ematischen Gültigkeit zu bestimmen und die relevanten Transportkoeffizienten zu berechnen. Wir wollen die starke Konvergenz von Lösungen der Mehrspezien-Boltzmann-Gleichung gegen Lösun- gen einiger geeigneter inkompressibler Navier-Stokes-Gleichungen für Gemische untersuchen (1) und dann die aufeinanderfolgenden Ordnungen in der hydrodynamischen Näherung analysieren, um zu zeigen, dass die Maxwell-Stefan-Gleichungen als Korrektur des Mehrkomponenten-Fickschen Mod- ells betrachtet werden können (2). Schließlich werden wir das Problem angehen, ein geeignetes asymptotik-erhaltendes Schema zu entwerfen, um den korrekten Diffusionslimes zu erfassen (3). Die Ziele (1) und (2) werden behandelt, indem zunächst der Ansatz von Ellis und Pinsky angepasst wird, um die Halbgruppe zu untersuchen, die durch den linearisierten Multi-Spezien- Boltzmann-Operator erzeugt wird, und dann durch die Verknüpfung der Maxwellschen Gleichgewicht- szustände, die den Maxwell-Stefan-, Navier-Stokes- und Fick-Regimen entsprechen. Der Ansatz beinhaltet auch die Verwendung neuer analytischer Techniken wie hypocoercive und Entropie- Methoden zur Untersuchung der Cauchy-Probleme für die kinetischen und die makroskopischen Gleichungen. Um das Ziel (3) zu erreichen, besteht unsere Idee darin, die Verwendung der Mikro- Makro-Zerlegung von Lemou und Mieussens und die penalisierungsbasierte Methode von Filbet und Jin zu kombinieren, um eine geeignete mesoskopisch-makroskopische Reformulierung zu finden und die Steifigkeit des Kollisionsoperators zu behandeln. Unsere Ziele würden fundamentale Ergebnisse verallgemeinern, die für hydrodynamische monoatomare Limiten bekannt sind (und eine erste rigorose Herleitung der inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen für Gemische ermöglichen), und würden eines der ältesten Probleme in der Mehrkomponenten- Strömungsmechanik lösen, nämlich die Kontroverse zwischen der Verwendung des Maxwell-Stefan- oder des Fick-Ansatzes zur Modellierung der Diffusion in Gemischen. An der Universität Graz sind vor allem Klemens Fellner (Reaktions-Diffusions-Systeme, kinetis- che Gleichungen, Kreuzdiffusionsmodelle, Entropiemethoden) und Bao Quoc Tang (Reaktions- Diffusions-Systeme, Entropie-Methoden).

Mathematische Modelle haben sich in der Vergangenheit als nützlich erwiesen, um verschiedene reale Phänomene zufriedenstellend zu beschreiben, die mit den Untersuchungen anderer wissenschaftlicher Disziplinen verbunden sind. Die Arbeit eines angewandten Mathematikers besteht darin, zu beweisen, dass diese Modelle solide sind, in dem Sinne, dass sie aus grundlegenden physikalischen Prinzipien oder aus natürlichen Erhaltungsgesetzen abgeleitet werden können, und dass sie eine Reihe grundlegender Eigenschaften erfüllen (zum Beispiel die Tatsache, dass ein bestimmtes Gleichungssystem tatsächlich gelöst werden kann und nicht zu unphysikalischen Phänomenen führt). Das Projekt "Asymptotische Herleitung von Diffusionsmodellen für Mischgase" gehört zum Forschungsbereich der kinetischen Theorie der Gase, die von Ludwig Boltzmann vorgeschlagen wurde, und betrifft die Untersuchung mathematischer Modelle, die die Dynamik von interagierenden Teilchensystemen mit mehreren Spezies beschreiben. Das typische Anwendungsbeispiel sind Flüssigkeitsgemische, in denen sich Moleküle verschiedener Arten durch mikroskopische Zusammenstöße oder chemische Reaktionen gegenseitig beeinflussen und das makroskopisch beobachtbare Verhalten bestimmen. Je nach dem Beobachtungsmaßstab des Phänomens können verschiedene Modelle vorgeschlagen werden, und es ist wichtig, mathematisch strenge Gleichungen für die Entwicklung der beobachtbaren physikalischen Größen (wie die Dichte, die Temperatur oder den Druck des Gases) von der mikroskopischen Ebene abzuleiten. In diesem Zusammenhang bestand das Hauptergebnis des Projekts darin, dass neue Verbindungen zwischen den Lösungen der Boltzmann-Gleichung für ein Gasgemisch und denen des Maxwell-Stefan- und des Reaktions-Diffusions-Systems hergestellt werden konnten, um so das physikalische Regime des Übergangs zwischen den beiden Modellen zu bestimmen. Die Frage ist sowohl aus theoretischer als auch aus anwendungsbezogener Sicht von Bedeutung. Einerseits können diese Analysen einen einheitlichen mathematischen Rahmen definieren, in dem all diese verschiedenen Modelle miteinander verknüpft sind, was beweist, dass sie in der Tat miteinander kohärent sind. Auf der anderen Seite haben wir es mit Modellen zu tun, die verallgemeinert werden können, um Interaktionen zwischen Agenten zu beschreiben, die viel komplexer sind als die Kollisionen. Man denke beispielsweise an eine Population von Tieren verschiedener Arten, die in einem natürlichen Lebensraum miteinander in Kontakt treten, indem sie um Nahrung konkurrieren oder Raubtier-Beute-Beziehungen eingehen, oder an das Problem der Modellierung der Ausbreitung einer Epidemie in einer menschlichen Population, in der die verschiedenen Individuen (die mit dem Virus infiziert sein können oder auch nicht) über soziale Kontakte interagieren. Eine Studie zu diesen beiden Erweiterungen ist im Gange und stellt eine natürliche Fortsetzung der Arbeit des Forschers dar. Die im Rahmen des Projekts erzielten Ergebnisse haben daher unmittelbare Auswirkungen auf den spezifischen Bereich der kinetischen Theorie von Gasen, können aber auch in Zukunft eine Brücke zwischen verschiedenen mathematischen und nicht-mathematischen wissenschaftlichen Gemeinschaften bilden und den Weg für die Entwicklung neuer interessanter interdisziplinärer Kooperationen ebnen, einschließlich Anwendungen in Physik, Chemie, Biologie und Medizin.