Krümmungs und Dimensions in der nichtkommutativen Analysis

Die Krümungs-Dimensions-Bedingung für Riemannsche Mannigfaltigkeiten kombiniert eine untere Schranke an die Ricci-Krümmung mit einer oberen Schranke an die Dimension. Neben geometrischen Konsequenzen hat diese Bedingung auch vielfältige analytische Anwendungen. Dazu gehören eine Reihe von Funktionalungleichungen wie die Poincaré-Ungleichung und die logarithmische Sobolev-Ungleichung, die eine wichtige Rolle in der Wahrscheinlichkeitstheorie, der Theorie des optimalen Transports, der mathematischen Physik und vielen weiteren Gebieten spielen. Zwei klassische Theorien, mit deren Hilfe man Krümmungs-Dimensions-Bedingungen jenseits von Riemannschen Mannigfaltigkeiten definieren kann, sind die Bakry-Émery- Theorie für Diffusionshalbgruppen und die Lott-Sturm-Villani-Theorie, die auf optimalen-Transport-Techniken beruht. In den letzten Jahrzehnten kam es zu großen Fortschritten in beiden Theorien, und ihre Erweiterungen auf allgemeinere Situationen sind weiterhin ein aktiver Forschungsgegenstand. Ziel dieses Projekts ist es, eine Quantenversion der Krümmungs-Dimensions- Bedingung samt Anwendungen zu studieren. In der nichtkommutativen Analysis werden Funktionen durch Operatoren ersetzt, die im Allgemeinen nicht kommutieren. Diese Nichtkommutativität zieht diverse Schwierigkeiten nach sich, für die es neue Werkzeuge und Ideen benötigt. In den letzten Jahren sind mehrere nichtkommutative Version der Krümmungs-Dimensions-Bedingung definiert worden. Ziel dieses Projekts ist es, deren Eigenschaften und Beziehungen zueinander zu studieren und sie auf Beispiele aus der Quanteninformationstheorie und nichtkommutativen Analysis anzuwenden.

Die bedeutendsten Ergebnisse dieses Projekts befassen sich mit der Analyse der Booleschen Funktionen in der Quantenwelt. Im klassischen Kontext sind boolesche Funktionen $f:\{-1,1\}^n\to \{-1,1\}$ von großer Bedeutung in der theoretischen Informatik, der Theorie sozialer Entscheidungen und vielen anderen Bereichen. Ein grundlegendes Problem bei der Analyse der Booleschen Analyse besteht darin, die Struktur boolescher Funktionen mit geringer Komplexität zu verstehen. Zwei grundlegende komplexe Maße sind der Einfluss und der Grad, die mithilfe des Fourier-Spektrums dargestellt werden können. Die Fourier-Analysewerkzeuge haben eine wesentliche Rolle bei der Untersuchung boolescher Funktionen mit geringer Komplexität gespielt. In diesem Projekt entwickelte das PI einige neue Ideen und Methoden, um ähnliche Probleme im Quantenbereich anzugehen, wo Funktionen durch Matrizen ersetzt werden, die im Allgemeinen nicht kommutativ sind. Die Schwierigkeit in der Quantenumgebung liegt im Fehlen der Konzepte von Punkten oder der Nichtkommutativität von Matrizen. Im vorliegenden Projekt untersuchten der PI und seine Mitarbeiter Quantenanaloga boolescher Funktionen mit kleinen Einflüssen oder Graden. Insbesondere erhielten der PI und seine Mitarbeiter Quantenanaloga eines KKL-Theorems, der Talagrand-Ungleichung und des Junta-Theorems von Friedgut, bei denen es sich um drei grundlegende Ergebnisse der Analyse boolescher Funktionen mit kleinen Einflüssen handelt. Die wichtigsten Werkzeuge stammen aus der Untersuchung der Krümmungsdimensionsbedingungen in der nichtkommutativen Analyse. Diese Bedingung enthält Informationen über zwei wichtige Merkmale eines geometrischen Objekts, nämlich die Untergrenze der Ricci-Krümmung und die Obergrenze der Dimension einer Riemannschen Mannigfaltigkeit. Die Untersuchung dieser Bedingung an allgemeineren (nicht kommutativen) Strukturen hat in den vergangenen Jahrzehnten große Fortschritte gemacht. Der PI und seine Mitarbeiter haben auch einen kürzlichen Durchbruch bei der Stichprobenkomplexität beim Lernen boolescher Funktionen niedriger Grade auf die Quantenumgebung ausgeweitet. Sie entdeckten einen Zusammenhang zwischen der Fourier-Analyse in der klassischen Welt und der Quantenwelt, der es ihnen ermöglicht, die Probleme im Quantenbereich auf ihre klassischen Analogien zu reduzieren.