Softwareentwicklung für singuläre Randwertaufgaben

Die Forschungen des Projektes beschäftigten sich mit der Lösung von Aufgaben die in zahlreichen Anwendungen auftreten und die in Form von Systemen singulärer Differentialgleichungen geschrieben werden. Solche Modelle treten in Physik, Chemie und in der Umwelttechnik auf. In der Lawinenforschung werden Lawinenabgänge am Computer simuliert mit dem Ziel, den Bremsvorgang einer Lawine, durch die in der Landschaft plazierte Aufschüttungen, so zu beeinflussen, dass bestimmte Gebiete keinen Schaden erleiden. Wegen ihrer hohen Komplexität kann man im allgemeinen diese Aufgaben nicht exakt lösen. Man muss eine Methode einsetzen, die diese Probleme näherungsweise löst, d.h. statt der exakten Lösung ihre mit einem gewissen Fehler behaftete Approximation berechnet. Die "Singularität" deutet hier auf einen Mangel hin, der bei der Lösung solcher Probleme zu Schwierigkeiten führt: Die verfügbare Software arbeitet nicht effizient oder versagt gänzlich. Das Ziel des Projektes war die Grundlagen für die Entwicklung von Spezialprogrammen zu legen, die folgendes leisten sollen: 1. Wir wissen, dass die von einem Programm gelieferte Lösung einen Fehler aufweist. Der Anwender verlangt, dass dieser Fehler eine bestimmte Größe nicht übersteigt. Um diesen Wunsch zu erfüllen, muss man in der Lage sein, die Größe des Fehlers zu beeinflussen. Als natürlich empfindet man hier die Forderung, dass der Fehler der Näherung abnehmen soll, falls man zu ihrer Ermittlung mehr Arbeit leistet. Die Methoden, die diese Eigenschaft haben, heißen konvergent. Dies bedeutet inhaltlich, dass mit wachsendem Aufwand die Werte der Approximation gegen die Werte der exakten Lösung streben. Im Idealfall weiß man sogar wie schnell der Fehler abnimmt. 2. Da man die exakte Lösung nicht kennt, kennt man den Fehler der soeben errechneten Approximation nicht. Man braucht deshalb eine zuverlässige Fehlerschätzung, die man mit der Toleranzschranke vergleichen kann. Diese Schätzung wird auch dazu benützt die geforderte Genauigkeit mit möglichst geringem Aufwand zu erfüllen. Das bedeutet, dass im Allgemeinen der Aufwand nur dann steigt, wenn das Problem schwieriger wird oder wenn man eine höhere Genauigkeit fordert. Im Zuge des Projektes ist es gelungen für große Klassen von singulären Problemen entsprechende Lösungsmethoden anzubieten und zu zeigen, dass sie robust gegenüber der Singularität bleiben und schnell konvergieren. Weiters ist es gelungen eine zuverlässige Schätzung des Approximations-fehlers und eine Strategie zur Gitteranpassung zu entwickeln. Diese Verfahren können sehr ökonomisch realisiert werden und stellen damit ausgezeichnete Lösungsroutinen für das zu entwickelnde Programm dar. Zwei Programme, zur Lösung von Randwertproblemen 2. Ordnung (basierend auf Differenzenverfahren) und Anfangswertproblemen 1. Ordnung (basierend auf der Defektkorrektur) liegen vor.