Rechnergestützte Liniengeometrie

Liniengeometrie studiert die Geradenmenge des dreidimensionalen Raumes. Sie ist ein ausführlich behandeltes Gebiet der klassischen Geometrie und besitzt Querverbindungen zur Mechanik und Raumkinematik, weshalb Anwendungen in Getriebesynthese und Roboterkinematik existieren. Weitere neuere Anwendungen der Liniengeometrie findet man u.a. bei der Bewegungsplanung, bei Positionierungs- und Fertigungsproblemen, der Erkennung von Objekten im Computer Vision, der Rückführung von geometrischen Objekten in CAD-Systeme, beim Flächenentwurf und der Fertigung von Flächen mittels EDM (electric discharge machining)-Technik. Trotz eines so breiten Anwendungsspektrums ist bislang keine sorgfältige Untersuchung der Liniengeometrie aus der Sicht des wissenschaftlichen Rechnens vorgenommen worden. Es ist das Ziel des vorliegenden Projektes, die mathematischen Grundlagen für dieses weitgehend unerforschte Gebiet der rechnergestützten Liniengeometrie zu legen. Ein zentraler Bestandteil unserer Arbeit wird die Entwicklung von Methoden zur Approximation und zum robusten Ausgleich im Linienraum sein. Dazu sind entsprechende Metriken im Linienraum einzuführen, welche sich auf jenen Bereich beziehen, in dem eine Gerade an einem Objekt tatsächlich realisiert ist. Dies ist eine wesentliche Voraussetzung für eine zuverlässige praktische Anwendung der Liniengeometrie. Wichtige Inhalte des Projekts betreffen ferner liniengeometrische Probleme über Geradenkongruenzen, die im Zusammenhang mit der Entwicklung von Algorithmen für kollisionsfreies NC-Fräsen von Flächen stehen, Algorithmen für den Entwurf von Regelfächen und Visualisierungstechniken für das Klein`sche Modell der Liniengeometrie. Letztere stehen im Zusammenhang mit der Arbeit an einem Buch über rechnergestützte Liniengeometrie. Das Hauptaugenmerk liegt auf der Erarbeitung der mathematischen Grundlagen der rechnergestützten Liniengeometrie. Eine Softwareentwicklung ist für die Anwendung beim NC-Fräsen geplant, da diese einen Bestandteil eines anderen Forschungsprojekts darstellt, bei welchem in einer internationalen Kooperation Software für das 5-achsige NC-Fräsen von Flächen erstellt werden soll.

Im Rahmen des Projektes wurden die Grundlagen einer computergestützten Behandlung von Problemen erarbeitet, in denen die Geometrie der Geraden des Raumes eine zentrale Rolle spielt. Liniengeometrie studiert die Geradenmenge des dreidimensionalen Raumes. Sie ist ein ausführlich behandeltes Gebiet der klassischen Geometrie und be- sitzt Querverbindungen zur Mechanik und Raumkinematik, weshalb Anwendungen in Getriebesynthese und Roboterkinematik existieren. Weitere neuere Anwendungen der Liniengeometrie findet man u.a. bei der Bewegungsplanung, bei Positionierungs- und Fertigungsproblemen, der Erkennung von Objekten im Computer Vision, der Rückführung von geometrischen Objekten in CAD-Systeme, beim Flächenentwurf und der Fertigung von Flächen mittels EDM (electric discharge machining) Technik. In allen diesen Anwendungen ist die Liniengeometrie aus der Sicht des wissenschaftlichen Rechnens einzusetzen. Im vorliegenden Projekt wurden die mathematischen Grundlagen für dieses weitgehend unerforschte Gebiet der rechnergestützten Liniengeometrie gelegt. Besonderes Augenmerk wurde auf Approximationsaufgaben im Geradenraum oder sogar noch allgemeiner die Approximation in Räumen gewisser geometrischer Objekte gelegt. Diese treten bei der Rekonstruktion von Objekten aus Messpunktwolken (z.B. Daten von Laserscannern) und bei der Stabilitätsbewertung von Positionen paralleler Roboter auf. Es zeigte sich auch, dass die Berechnung von Toleranzbereichen für CAD-Konstruktionen zum Teil mit Mitteln der rechnergestützten Liniengeometrie erledigt werden kann. Das vorliegende Projekt steht ferner in engem inhaltlichen Zusammenhang mit geometrischen Probleme beim Fünfachsfräsen von Freiformflächen. Die Projektergebnisse samt einer Darstellung des zentralen klassischen Bestandes der Liniengeometrie wurden in einem in der neuen Serie `Mathematics and Visualization` des Springer-Verlages erschienenen Buch `Computational Line Geometry` publiziert.